Theorem symgf 10405

Description: The domain and codomain of the group operation of the symmetry group on A. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
symgf	|- (SymGrp` A):(P X. P)-->P

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem symgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsymgrn.1	. . 3 |- A e. V
2		elsymgrn.2	. . 3 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
3	1, 2	symgval 10403	. 2 |- (SymGrp` A) = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}
4		f1oco 3707	. . 3 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) -> (f o. g):A-1-1-onto->A)
5	1, 2	elsymgrn 10401	. . . 4 |- (f e. P <-> f:A-1-1-onto->A)
6	1, 2	elsymgrn 10401	. . . 4 |- (g e. P <-> g:A-1-1-onto->A)
7	5, 6	anbi12i 482	. . 3 |- ((f e. P /\ g e. P) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
8	1, 2	elsymgrn 10401	. . 3 |- ((f o. g) e. P <-> (f o. g):A-1-1-onto->A)
9	4, 7, 8	3imtr4 219	. 2 |- ((f e. P /\ g e. P) -> (f o. g) e. P)
10	3, 9	foprab 4120	1 |- (SymGrp` A):(P X. P)-->P

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  Vcvv 1811   X. cxp 3168   o. ccom 3174  -->wf 3178  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182  SymGrpcsymgrp 10399

This theorem is referenced by:  symggrpi 10406  symgidi 10407  cayleylem2 10410

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-symgrp 10400

Copyright terms: Public domain