Theorem supxrpnf 6088

Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infnity is plus infinity.

Assertion

Ref	Expression
supxrpnf	|- ((A (_ RR* /\ +oo e. A) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)

Proof of Theorem supxrpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . 5 |- (A (_ RR* -> (y e. A -> y e. RR*))
2		pnfnltt 5546	. . . . 5 |- (y e. RR* -> -. +oo < y)
3	1, 2	syl6 22	. . . 4 |- (A (_ RR* -> (y e. A -> -. +oo < y))
4	3	r19.21aiv 1713	. . 3 |- (A (_ RR* -> A.y e. A -. +oo < y)
5		breq2 2623	. . . . . . 7 |- (z = +oo -> (y < z <-> y < +oo))
6	5	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- (( +oo e. A /\ y < +oo) -> E.z e. A y < z)
7	6	ex 373	. . . . 5 |- ( +oo e. A -> (y < +oo -> E.z e. A y < z))
8	7	a1d 12	. . . 4 |- ( +oo e. A -> (y e. RR -> (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
9	8	r19.21aiv 1713	. . 3 |- ( +oo e. A -> A.y e. RR (y < +oo -> E.z e. A y < z))
10	4, 9	anim12i 333	. 2 |- ((A (_ RR* /\ +oo e. A) -> (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR (y < +oo -> E.z e. A y < z)))
11		pnfxr 5493	. . 3 |- +oo e. RR*
12		supxr 6081	. . 3 |- (((A (_ RR* /\ +oo e. RR*) /\ (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR (y < +oo -> E.z e. A y < z))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
13	11, 12	mpanl2 707	. 2 |- ((A (_ RR* /\ (A.y e. A -. +oo < y /\ A.y e. RR (y < +oo -> E.z e. A y < z))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
14	10, 13	syldan 467	1 |- ((A (_ RR* /\ +oo e. A) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  supcsup 4573  RRcr 5233   +oocpnf 5483  RR*cxr 5485   < clt 5486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain