Theorem supsr 5231

Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum.

Assertion

Ref	Expression
supsr	|- (((A (_ R. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . 5 |- (A (_ R. -> (w e. A -> w e. R.))
2		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (w = if(w e. R., w, 0R) -> (w e. A <-> if(w e. R., w, 0R) e. A))
3	2	imbi1d 613	. . . . . 6 |- (w = if(w e. R., w, 0R) -> ((w e. A -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))) <-> (if(w e. R., w, 0R) e. A -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))))))
4		0r 5189	. . . . . . . . 9 |- 0R e. R.
5	4	elimel 2394	. . . . . . . 8 |- if(w e. R., w, 0R) e. R.
6		opreq1 3968	. . . . . . . . . . 11 |- (v = u -> (v +R -1R) = (u +R -1R))
7	6	opreq2d 3976	. . . . . . . . . 10 |- (v = u -> (if(w e. R., w, 0R) +R (v +R -1R)) = (if(w e. R., w, 0R) +R (u +R -1R)))
8	7	eleq1d 1540	. . . . . . . . 9 |- (v = u -> ((if(w e. R., w, 0R) +R (v +R -1R)) e. A <-> (if(w e. R., w, 0R) +R (u +R -1R)) e. A))
9	8	cbvabv 1909	. . . . . . . 8 |- {v | (if(w e. R., w, 0R) +R (v +R -1R)) e. A} = {u | (if(w e. R., w, 0R) +R (u +R -1R)) e. A}
10	5, 9	supsrlem6 5230	. . . . . . 7 |- ((if(w e. R., w, 0R) e. A /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))
11	10	ex 373	. . . . . 6 |- (if(w e. R., w, 0R) e. A -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))))
12	3, 11	dedth 2383	. . . . 5 |- (w e. R. -> (w e. A -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))))
13	1, 12	syli 54	. . . 4 |- (A (_ R. -> (w e. A -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))))
14	13	19.23adv 1214	. . 3 |- (A (_ R. -> (E.w w e. A -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))))
15		n0 2289	. . 3 |- (-. A = (/) <-> E.w w e. A)
16	14, 15	syl5ib 206	. 2 |- (A (_ R. -> (-. A = (/) -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))))
17	16	imp31 362	1 |- (((A (_ R. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   (_ wss 2047  (/)c0 2280  ifcif 2361   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  -1Rcm1r 4996   +R cplr 4997   <R cltr 4999

This theorem is referenced by:  supre 5260

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173

Copyright terms: Public domain