Theorem suprelem 5259

Description: Mapping of non-empty subset from signed reals to reals.

Hypothesis

Ref	Expression
supre.1	|- B = {w | <.w, 0R>. e. A}

Assertion

Ref	Expression
suprelem	|- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> (B (_ R. /\ -. B = (/)))

Distinct variable groups:   w,A   w,B

Proof of Theorem suprelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . 6 |- (A (_ RR -> (<.w, 0R>. e. A -> <.w, 0R>. e. RR))
2		supre.1	. . . . . . 7 |- B = {w | <.w, 0R>. e. A}
3	2	abeq2i 1570	. . . . . 6 |- (w e. B <-> <.w, 0R>. e. A)
4	1, 3	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A (_ RR -> (w e. B -> <.w, 0R>. e. RR))
5		opelreal 5249	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. e. RR <-> w e. R.)
6	4, 5	syl6ib 212	. . . 4 |- (A (_ RR -> (w e. B -> w e. R.))
7	6	ssrdv 2070	. . 3 |- (A (_ RR -> B (_ R.)
8	7	adantr 389	. 2 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> B (_ R.)
9		ssel 2063	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
10	9	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (A (_ RR -> x e. RR))
11		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. e. A <-> x e. A))
12	11, 3	syl5bb 532	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, 0R>. = x -> (w e. B <-> x e. A))
13	12	biimprcd 156	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (<.w, 0R>. = x -> w e. B))
14		n0i 2285	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. B -> -. B = (/))
15	13, 14	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (<.w, 0R>. = x -> -. B = (/)))
16	15	adantld 390	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((w e. R. /\ <.w, 0R>. = x) -> -. B = (/)))
17	16	19.23adv 1214	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x) -> -. B = (/)))
18		elreal 5250	. . . . . . . 8 |- (x e. RR <-> E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x))
19	17, 18	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (x e. RR -> -. B = (/)))
20	10, 19	syld 27	. . . . . 6 |- (x e. A -> (A (_ RR -> -. B = (/)))
21	20	19.23aiv 1295	. . . . 5 |- (E.x x e. A -> (A (_ RR -> -. B = (/)))
22	21	com12 11	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x x e. A -> -. B = (/)))
23		n0 2289	. . . 4 |- (-. A = (/) <-> E.x x e. A)
24	22, 23	syl5ib 206	. . 3 |- (A (_ RR -> (-. A = (/) -> -. B = (/)))
25	24	imp 350	. 2 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> -. B = (/))
26	8, 25	jca 288	1 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> (B (_ R. /\ -. B = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   (_ wss 2047  (/)c0 2280  <.cop 2411  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  RRcr 5233

This theorem is referenced by:  supre 5260

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-r 5244

Copyright terms: Public domain