Theorem suplubi 4586

Description: A supremum is the least upper bound.

Hypotheses

Ref	Expression
sup.1	|- R Or A
sup.2	|- E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))

Assertion

Ref	Expression
suplubi	|- ((C e. A /\ CRsup(B, A, R)) -> E.z e. B CRz)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,R,y,z   x,B,y,z   z,C

Proof of Theorem suplubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sup.2	. 2 |- E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))
2		sup.1	. . 3 |- R Or A
3	2	suplub 4581	. 2 |- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> ((C e. A /\ CRsup(B, A, R)) -> E.z e. B CRz))
4	1, 3	ax-mp 7	1 |- ((C e. A /\ CRsup(B, A, R)) -> E.z e. B CRz)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619   Or wor 2839  supcsup 4573

This theorem is referenced by:  suprlubi 6063  projlem15 9200

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-po 2840  df-so 2850  df-sup 4574

Copyright terms: Public domain