Theorem supex 4577

Description: A supremum is a set.

Hypothesis

Ref	Expression
supmo.1	|- R Or A

Assertion

Ref	Expression
supex	|- sup(B, A, R) e. V

Proof of Theorem supex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 4574	. . 3 |- sup(B, A, R) = U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))}
2		df-rab 1652	. . . 4 |- {x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} = {x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))}
3	2	unieqi 2511	. . 3 |- U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} = U.{x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))}
4	1, 3	eqtr 1495	. 2 |- sup(B, A, R) = U.{x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))}
5		supmo.1	. . . . 5 |- R Or A
6	5	supmo 4576	. . . 4 |- E*x(x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
7		moabex 2766	. . . 4 |- (E*x(x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))) -> {x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))} e. V)
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- {x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))} e. V
9	8	uniex 2870	. 2 |- U.{x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))} e. V
10	4, 9	eqeltr 1544	1 |- sup(B, A, R) e. V

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  E*wmo 1381  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648  Vcvv 1811  U.cuni 2503   class class class wbr 2619   Or wor 2839  supcsup 4573

This theorem is referenced by:  limsupvalt 6529  sqrval 6671  caucvg3a 7164  cvgcmp3c 7186  erelem5 7323  erelem6 7324  ele3lem 7326  ege2le3lem1 7327  ege2le3lem2 7329  metxpdval 7829  metxp 7834  xplmi 7973  xplmi2 7974  xplm 7975  xpcn 7976  oprcn 7977  bopcnlem3 7983  bopcn 7985  nmoval 8426  nmopvalt 9782  nmfnvalt 9803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-po 2840  df-so 2850  df-sup 4574

Copyright terms: Public domain