Theorem sumex 6981

Description: A sum is a set.

Assertion

Ref	Expression
sumex	|- sum_k e. A B e. V

Proof of Theorem sumex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 6980	. 2 |- sum_k e. A B = ({x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)})
2		2rexuz 6446	. . . . 5 |- (E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
3	2	abbii 1575	. . . 4 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} = {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))}
4		zex 6144	. . . . 5 |- ZZ e. V
5		fvex 3732	. . . . . . 7 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) e. V
6		anass 439	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
7		ancom 435	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
8	6, 7	bitr3 175	. . . . . . . . 9 |- ((m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
9	8	abbii 1575	. . . . . . . 8 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} = {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))}
10		ssab2 2130	. . . . . . . 8 |- {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))} (_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
11	9, 10	eqsstr 2091	. . . . . . 7 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} (_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
12	5, 11	ssexi 2720	. . . . . 6 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
13	4, 12	abrexex2 3871	. . . . 5 |- {x | E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
14	4, 13	abrexex2 3871	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
15	3, 14	eqeltr 1544	. . 3 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} e. V
16		abid2 1580	. . . . . . 7 |- {x | x e. CC} = CC
17		axcnex 5267	. . . . . . 7 |- CC e. V
18	16, 17	eqeltr 1544	. . . . . 6 |- {x | x e. CC} e. V
19		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- x e. V
20		climcl 6978	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
21	19, 20	mpan 695	. . . . . . . 8 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x -> x e. CC)
22	21	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
23	22	ss2abi 2120	. . . . . 6 |- {x | (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} (_ {x | x e. CC}
24	18, 23	ssexi 2720	. . . . 5 |- {x | (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
25	4, 24	abrexex2 3871	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
26	25	uniex 2870	. . 3 |- U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
27	15, 26	unex 2872	. 2 |- ({x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)}) e. V
28	1, 27	eqeltr 1544	1 |- sum_k e. A B e. V

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646  Vcvv 1811   u. cun 2045  <.cop 2411  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  {copab 2666   |` cres 3172  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237   <_ cle 5295  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq cseqz 6531   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  isum1p 7206  iserzgt0 7211  isummulc1 7212  isumcmpi 7215  isumsplit 7216  fsum0diaglem2 7257  fsum0diag 7258  efvalt 7308  eff 7313  efaddlem26 7363  efaddlem27 7364  ef1tllem 7381  ef01tllem1 7383  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  absef01tllem 7387  reeff1o 7426  fsumcnlem 7989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-neg 5358  df-z 6136  df-uz 6418  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain