Theorem sucexb 3048

Description: A successor exists iff its class argument exists.

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- (A e. V <-> suc A e. V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 2873	. 2 |- ((A e. V /\ {A} e. V) <-> (A u. {A}) e. V)
2		snex 2750	. . 3 |- {A} e. V
3	2	biantru 724	. 2 |- (A e. V <-> (A e. V /\ {A} e. V))
4		df-suc 2954	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
5	4	eleq1i 1537	. 2 |- (suc A e. V <-> (A u. {A}) e. V)
6	1, 3, 5	3bitr4 183	1 |- (A e. V <-> suc A e. V)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045  {csn 2409  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  sucexg 3049  sucelon 3068  ordsucelsuc 3073  oeordi 4214  suc11reg 4605  r1ord 4655  rankxpsuc 4715

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-uni 2504  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain