Theorem sucel 3042

Description: Membership of a successor in another class.

Assertion

Ref	Expression
sucel	|- (suc A e. B <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem sucel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 1685	. 2 |- (suc A e. B <-> E.x e. B x = suc A)
2		dfcleq 1470	. . . 4 |- (x = suc A <-> A.y(y e. x <-> y e. suc A))
3		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
4	3	elsuc 3038	. . . . . 6 |- (y e. suc A <-> (y e. A \/ y = A))
5	4	bibi2i 608	. . . . 5 |- ((y e. x <-> y e. suc A) <-> (y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
6	5	albii 999	. . . 4 |- (A.y(y e. x <-> y e. suc A) <-> A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
7	2, 6	bitr 173	. . 3 |- (x = suc A <-> A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
8	7	rexbii 1668	. 2 |- (E.x e. B x = suc A <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (suc A e. B <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  axinf2 4624  zfinf 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-rex 1650  df-v 1812  df-un 2050  df-sn 2412  df-pr 2413  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain