Theorem subclt 5347

Description: Closure law for subtraction.

Assertion

Ref	Expression
subclt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)

Proof of Theorem subclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3959	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
2	1	eleq1d 1537	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A - B) e. CC <-> (if(A e. CC, A, 0) - B) e. CC))
3		opreq2 3960	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
4	3	eleq1d 1537	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) - B) e. CC <-> (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) e. CC))
5		0cn 5308	. . . 4 |- 0 e. CC
6	5	elimel 2390	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
7	5	elimel 2390	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
8	6, 7	subcl 5346	. 2 |- (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) e. CC
9	2, 4, 8	dedth2h 2383	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  ifcif 2357  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214   - cmin 5272

This theorem is referenced by:  negclt 5348  subopr 5350  pncan3t 5357  addsubt 5364  addsub12t 5366  npncant 5380  nppcant 5381  subdit 5407  subdirt 5408  subsub2t 5441  subsub4t 5444  nnncant 5446  nnncan1t 5447  nnncan2t 5448  subadd4t 5455  pnpcant 5458  recextlem1 5663  recext 5665  muleqaddt 5677  halfaddsubcl 5995  halfaddsubt 5996  elnnnn0 6127  uzindOLD 6164  shftval2t 6292  2shft 6297  shftcan2t 6298  seq1seq02t 6483  seqzp1 6488  seq0p1 6491  seqzval2t 6493  subsqt 6581  subsq2t 6582  cjclt 6704  sqabssubt 6792  abs3dift 6844  abs2dift 6847  abs2difabst 6848  caubnd 6871  caure 6872  cauim 6873  ser1absdiflem 6874  fsumconst 6984  clm4le 7027  2climnn 7047  2climnn0 7048  climrecl 7055  climaddlem3 7060  climmullem3 7066  climmullem4 7067  climmullem5 7068  climabslem 7092  climcj 7094  climre 7095  climim 7096  climcau 7100  serzf0 7113  ser1f0 7114  cvgcmp3c 7130  georeclim 7183  geoisumr 7186  geoisum1c 7188  abscncflem 7217  recncf 7219  imcncf 7220  cjcncf 7221  mulc1cncf 7222  efaddlem16 7303  sinclt 7381  sinnegt 7392  efivalt 7397  addsint 7407  subcost 7410  cnmet 7856  ioo2bl 7864  subcn 7937  sm1cnilem 8294  ipval2 8304  4ipval2 8305  4ipval3 8309  ipcj 8314  sinco 8605  efimpi 8634  hvmulcan2t 8879  occllem6 9117  pjthlem8 9164  lnfncon 9928  mslb1 10509  2wsms 10510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336

Copyright terms: Public domain