Theorem sspsval 8386

Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
ssps.y	|- Y = (Base` W)
ssps.s	|- S = (.s` U)
ssps.r	|- R = (.s` W)
ssps.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspsval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. CC /\ B e. Y)) -> (ARB) = (ASB))

Proof of Theorem sspsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssps.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
2		ssps.s	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		ssps.r	. . . 4 |- R = (.s` W)
4		ssps.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
5	1, 2, 3, 4	ssps 8385	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> R = (S |` (CC X. Y)))
6	5	opreqd 3983	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (ARB) = (A(S |` (CC X. Y))B))
7		oprvalres 4039	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. Y) -> (A(S |` (CC X. Y))B) = (ASB))
8	6, 7	sylan9eq 1530	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. CC /\ B e. Y)) -> (ARB) = (ASB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   X. cxp 3174   |` cres 3178  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  .scns 8202  SubSpcss 8376

This theorem is referenced by:  sspmval 8388  sspival 8393  minveclem16 8556  minveclem37 8577  hhshsslem2 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215  df-ssp 8377

Copyright terms: Public domain