Theorem sspmval 8392

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	|- Y = (Base` W)
sspm.m	|- M = (-v` U)
sspm.l	|- L = (-v` W)
sspm.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (AMB))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 |- H = (SubSp` U)
2	1	sspnv 8385	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
3		ax1cn 5269	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
4	3	negcl 5369	. . . . . . . . 9 |- -u1 e. CC
5		sspm.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (Base` W)
6		eqid 1475	. . . . . . . . . 10 |- (.s` W) = (.s` W)
7	5, 6	nvscl 8247	. . . . . . . . 9 |- ((W e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) e. Y)
8	4, 7	mp3an2 904	. . . . . . . 8 |- ((W e. NrmCVec /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) e. Y)
9	8	ex 373	. . . . . . 7 |- (W e. NrmCVec -> (B e. Y -> (-u1(.s` W)B) e. Y))
10	2, 9	syl 10	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> (-u1(.s` W)B) e. Y))
11	10	anim2d 561	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y)))
12	11	imp 350	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y))
13		eqid 1475	. . . . 5 |- (+v` U) = (+v` U)
14		eqid 1475	. . . . 5 |- (+v` W) = (+v` W)
15	5, 13, 14, 1	sspgval 8388	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)))
16	12, 15	syldan 467	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)))
17		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (.s` U) = (.s` U)
18	5, 17, 6, 1	sspsval 8390	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (-u1 e. CC /\ B e. Y)) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
19	4, 18	mpanr1 709	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
20	19	adantrl 394	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
21	20	opreq2d 3976	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
22	16, 21	eqtrd 1507	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
23		sspm.l	. . . . 5 |- L = (-v` W)
24	5, 14, 6, 23	nvmval 8263	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
25	24	3expb 834	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
26	25, 2	sylan 448	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
27		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (Base` U) = (Base` U)
28	27, 5, 1	sspba 8386	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y (_ (Base` U))
29	28	sseld 2067	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (A e. Y -> A e. (Base` U)))
30	28	sseld 2067	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> B e. (Base` U)))
31	29, 30	anim12d 558	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))))
32	31	imp 350	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U)))
33		sspm.m	. . . . . 6 |- M = (-v` U)
34	27, 13, 17, 33	nvmval 8263	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
35	34	3expb 834	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
36	35	adantlr 393	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
37	32, 36	syldan 467	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
38	22, 26, 37	3eqtr4d 1517	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (AMB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235  -ucneg 5293  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  -vcnsb 8208  SubSpcss 8380

This theorem is referenced by:  sspm 8393  sspz 8394  sspimsval 8399  sspph 8515  minveclem28 8572

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ssp 8381

Copyright terms: Public domain