Theorem sspid 8331

Description: A normed complex vector space is a subspace of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
sspid.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspid	|- (U e. NrmCVec -> U e. H)

Proof of Theorem sspid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2076	. . . 4 |- (+v` U) (_ (+v` U)
2		ssid 2076	. . . 4 |- (.s` U) (_ (.s` U)
3		ssid 2076	. . . 4 |- (norm` U) (_ (norm` U)
4	1, 2, 3	3pm3.2i 817	. . 3 |- ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U))
5	4	jctr 291	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (U e. NrmCVec /\ ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U))))
6		eqid 1473	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
7		eqid 1473	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
8		eqid 1473	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
9		sspid.h	. . 3 |- H = (SubSp` U)
10	6, 6, 7, 7, 8, 8, 9	isssp 8330	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (U e. H <-> (U e. NrmCVec /\ ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U)))))
11	5, 10	mpbird 196	1 |- (U e. NrmCVec -> U e. H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  ` cfv 3177  NrmCVeccnv 8155  +vcpv 8156  .scns 8158  normcnm 8161  SubSpcss 8327

This theorem is referenced by:  hhsssh 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-nv 8163  df-va 8166  df-sm 8168  df-nm 8171  df-ssp 8328

Copyright terms: Public domain