Theorem ssorduni 2993

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- (A (_ On -> Ord U.A)

Proof of Theorem ssorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 2987	. . 3 |- Ord On
2		trssord 2965	. . . 4 |- ((Tr U.A /\ U.A (_ On /\ Ord On) -> Ord U.A)
3	2	3exp 832	. . 3 |- (Tr U.A -> (U.A (_ On -> (Ord On -> Ord U.A)))
4	1, 3	mpii 45	. 2 |- (Tr U.A -> (U.A (_ On -> Ord U.A))
5		ssel 2063	. . . . . . . . 9 |- (A (_ On -> (y e. A -> y e. On))
6		eloni 2958	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
7		ordtr 2962	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> Tr y)
8		trss 2689	. . . . . . . . . 10 |- (Tr y -> (x e. y -> x (_ y))
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (x e. y -> x (_ y))
10	5, 9	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x (_ y)))
11		anc2r 301	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> (x e. y -> x (_ y)) -> (y e. A -> (x e. y -> (x (_ y /\ y e. A))))
12	10, 11	syl 10	. . . . . . 7 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> (x (_ y /\ y e. A))))
13		ssuni 2522	. . . . . . 7 |- ((x (_ y /\ y e. A) -> x (_ U.A)
14	12, 13	syl8 24	. . . . . 6 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x (_ U.A)))
15	14	r19.23adv 1746	. . . . 5 |- (A (_ On -> (E.y e. A x e. y -> x (_ U.A))
16		eluni2 2507	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y e. A x e. y)
17	15, 16	syl5ib 206	. . . 4 |- (A (_ On -> (x e. U.A -> x (_ U.A))
18	17	r19.21aiv 1713	. . 3 |- (A (_ On -> A.x e. U.Ax (_ U.A)
19		dftr3 2684	. . 3 |- (Tr U.A <-> A.x e. U.Ax (_ U.A)
20	18, 19	sylibr 200	. 2 |- (A (_ On -> Tr U.A)
21		ordelord 2970	. . . . . . . . 9 |- ((Ord y /\ x e. y) -> Ord x)
22	21	ex 373	. . . . . . . 8 |- (Ord y -> (x e. y -> Ord x))
23		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- x e. V
24	23	elon 2957	. . . . . . . 8 |- (x e. On <-> Ord x)
25	22, 24	syl6ibr 213	. . . . . . 7 |- (Ord y -> (x e. y -> x e. On))
26	6, 25	syl 10	. . . . . 6 |- (y e. On -> (x e. y -> x e. On))
27	5, 26	syl6 22	. . . . 5 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x e. On)))
28	27	r19.23adv 1746	. . . 4 |- (A (_ On -> (E.y e. A x e. y -> x e. On))
29	28, 16	syl5ib 206	. . 3 |- (A (_ On -> (x e. U.A -> x e. On))
30	29	ssrdv 2070	. 2 |- (A (_ On -> U.A (_ On)
31	4, 20, 30	sylc 68	1 |- (A (_ On -> Ord U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U.cuni 2503  Tr wtr 2680  Ord word 2947  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  ssonunit 2994  orduni 2997  onsucuni 3085  limuni3 3123  tfrlem8 3918  unialeph 4895

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain