Theorem ssopab2 2811

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication.

Assertion

Ref	Expression
ssopab2	|- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ssopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2802	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab1 2802	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.x z e. {<.x, y>. | ps})
3	1, 2	hbss 2052	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.x{<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
4		hbopab2 2803	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
5		hbopab2 2803	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.y z e. {<.x, y>. | ps})
6	4, 5	hbss 2052	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.y{<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
7		opex 2772	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. V
8	7	isseti 1806	. . . . 5 |- E.z z = <.x, y>.
9		copsexg 2782	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
10		copsexg 2782	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ps <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
11	9, 10	imbi12d 624	. . . . . . . 8 |- (z = <.x, y>. -> ((ph -> ps) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps))))
12		ss2ab 2106	. . . . . . . . 9 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} <-> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
13		ax-4 970	. . . . . . . . 9 |- (A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
14	12, 13	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
15	11, 14	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (ph -> ps)))
16		df-opab 2657	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
17		df-opab 2657	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ps} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}
18	16, 17	sseq12i 2077	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
19	15, 18	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
20	19	19.23aiv 1290	. . . . 5 |- (E.z z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
21	8, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps))
22	6, 21	19.21ai 995	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.y(ph -> ps))
23	3, 22	19.21ai 995	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.xA.y(ph -> ps))
24		hba1 1000	. . . . . 6 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.xA.xA.y(ph -> ps))
25		hba1 1000	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> A.yA.y(ph -> ps))
26		ax-4 970	. . . . . . . . 9 |- (A.y(ph -> ps) -> (ph -> ps))
27	26	anim2d 559	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> ((z = <.x, y>. /\ ph) -> (z = <.x, y>. /\ ps)))
28	25, 27	19.22d 1058	. . . . . . 7 |- (A.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
29	28	a4s 981	. . . . . 6 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
30	24, 29	19.22d 1058	. . . . 5 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
31	30	19.21aiv 1281	. . . 4 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
32	31, 12	sylibr 200	. . 3 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
33	32, 16, 17	3sstr4g 2092	. 2 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
34	23, 33	impbi 157	1 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953  E.wex 977  {cab 1456   (_ wss 2037  <.cop 2401  {copab 2656

This theorem is referenced by:  ssopab2i 2812  cnvss 3280  cotr 3420  cnvsym 3421  dffun2 3512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657

Copyright terms: Public domain