Theorem ssnlim 3157

Description: An ordinal subclass of non-limit ordinals is a class of natural numbers. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ssnlim	|- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> A (_ om)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem ssnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3136	. . . 4 |- Lim om
2		ssel 2053	. . . . 5 |- (A (_ {x e. On | -. Lim x} -> (om e. A -> om e. {x e. On | -. Lim x}))
3		limeq 2950	. . . . . . . 8 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
4	3	negbid 609	. . . . . . 7 |- (x = om -> (-. Lim x <-> -. Lim om))
5	4	elrab 1896	. . . . . 6 |- (om e. {x e. On | -. Lim x} <-> (om e. On /\ -. Lim om))
6	5	pm3.27bi 326	. . . . 5 |- (om e. {x e. On | -. Lim x} -> -. Lim om)
7	2, 6	syl6 22	. . . 4 |- (A (_ {x e. On | -. Lim x} -> (om e. A -> -. Lim om))
8	1, 7	mt2i 110	. . 3 |- (A (_ {x e. On | -. Lim x} -> -. om e. A)
9	8	adantl 388	. 2 |- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> -. om e. A)
10		ordom 3131	. . . 4 |- Ord om
11		ordtri1 2970	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord om) -> (A (_ om <-> -. om e. A))
12	10, 11	mpan2 694	. . 3 |- (Ord A -> (A (_ om <-> -. om e. A))
13	12	adantr 389	. 2 |- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> (A (_ om <-> -. om e. A))
14	9, 13	mpbird 196	1 |- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> A (_ om)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  omcom 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122

Copyright terms: Public domain