Theorem ssnei 7724

Description: A set is included in its neighborhoods. Based on Bourbaki TG I.3 Viii. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssnei	|- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> S (_ N)

Proof of Theorem ssnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 7722	. 2 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N))
2		sstr 2072	. . . 4 |- ((S (_ g /\ g (_ N) -> S (_ N)
3	2	a1i 8	. . 3 |- (g e. J -> ((S (_ g /\ g (_ N) -> S (_ N))
4	3	r19.23aiv 1743	. 2 |- (E.g e. J (S (_ g /\ g (_ N) -> S (_ N)
5	1, 4	syl 10	1 |- ((J e. Top /\ N e. ((nei` J)` S)) -> S (_ N)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wrex 1646   (_ wss 2047  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712

This theorem is referenced by:  elnei 7725  0nnei 7726  opnneissb 7728  opnssneib 7729  tpnei 7734  esnnei 10508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-nei 7713

Copyright terms: Public domain