Theorem ssiun 2592

Description: Subset implication for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
ssiun	|- (E.x e. A C (_ B -> C (_ U_x e. A B)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem ssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1650	. 2 |- (E.x e. A C (_ B <-> E.x(x e. A /\ C (_ B))
2		pm3.35 359	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. C /\ (y e. C -> y e. B)) -> y e. B)
3	2	anim2i 335	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ (y e. C /\ (y e. C -> y e. B))) -> (x e. A /\ y e. B))
4	3	exp32 377	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y e. C -> ((y e. C -> y e. B) -> (x e. A /\ y e. B))))
5	4	com23 32	. . . . . . 7 |- (x e. A -> ((y e. C -> y e. B) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B))))
6	5	imp 350	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ (y e. C -> y e. B)) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
7		ssel 2063	. . . . . 6 |- (C (_ B -> (y e. C -> y e. B))
8	6, 7	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. A /\ C (_ B) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
9	8	19.22i 1040	. . . 4 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> E.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
10	9	19.21aiv 1286	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
11		eliun 2570	. . . . . . 7 |- (y e. U_x e. A B <-> E.x e. A y e. B)
12		df-rex 1650	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. B <-> E.x(x e. A /\ y e. B))
13	11, 12	bitr2 174	. . . . . 6 |- (E.x(x e. A /\ y e. B) <-> y e. U_x e. A B)
14	13	imbi2i 185	. . . . 5 |- ((y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)) <-> (y e. C -> y e. U_x e. A B))
15	14	albii 999	. . . 4 |- (A.y(y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)) <-> A.y(y e. C -> y e. U_x e. A B))
16		19.37v 1303	. . . . 5 |- (E.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> (y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)))
17	16	albii 999	. . . 4 |- (A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> A.y(y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)))
18		dfss2 2058	. . . 4 |- (C (_ U_x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. U_x e. A B))
19	15, 17, 18	3bitr4 183	. . 3 |- (A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> C (_ U_x e. A B)
20	10, 19	sylib 198	. 2 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> C (_ U_x e. A B)
21	1, 20	sylbi 199	1 |- (E.x e. A C (_ B -> C (_ U_x e. A B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U_ciun 2566

This theorem is referenced by:  iunss2 2595  iunpwss 2618  iunpw 2914  oen0 4213  trcl 4645  r1tr 4654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-rex 1650  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-iun 2568

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