Theorem ssgt0sr 5217

Description: The sum of squares of signed reals is positive if one is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
ssgt0sr.1	|- A e. V
ssgt0sr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ssgt0sr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. (A = 0R /\ B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))

Proof of Theorem ssgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssgt0sr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. V
2	1	sqgt0sr 5215	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))
3	2	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. R. /\ -. A = 0R) -> 0R <R (A .R A))
4	3	adantrr 395	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R (A .R A))
5		opreq12 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B = 0R /\ B = 0R) -> (B .R B) = (0R .R 0R))
6	5	anidms 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B = 0R -> (B .R B) = (0R .R 0R))
7		0r 5189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
8		00sr 5208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0R .R 0R) = 0R
10	6, 9	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B = 0R -> (B .R B) = 0R)
11	10	opreq2d 3976	. . . . . . . . . . . 12 |- (B = 0R -> ((A .R A) +R (B .R B)) = ((A .R A) +R 0R))
12		mulclsr 5193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> (A .R A) e. R.)
13	12	anidms 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. R. -> (A .R A) e. R.)
14		0idsr 5206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A .R A) e. R. -> ((A .R A) +R 0R) = (A .R A))
15	13, 14	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. R. -> ((A .R A) +R 0R) = (A .R A))
16	11, 15	sylan9eqr 1529	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. R. /\ B = 0R) -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (A .R A))
17	16	breq2d 2630	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. R. /\ B = 0R) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (A .R A)))
18	17	adantrl 394	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (A .R A)))
19	4, 18	mpbird 196	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
20	19	adantlr 393	. . . . . . 7 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
21	20	ancoms 436	. . . . . 6 |- (((-. A = 0R /\ B = 0R) /\ (A e. R. /\ B e. R.)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
22	21	exp31 376	. . . . 5 |- (-. A = 0R -> (B = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
23		ssgt0sr.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. V
24	23	sqgt0sr 5215	. . . . . . . . 9 |- (B e. R. -> (-. B = 0R -> 0R <R (B .R B)))
25	2, 24	im2anan9 563	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R /\ -. B = 0R) -> (0R <R (A .R A) /\ 0R <R (B .R B))))
26		oprex 3983	. . . . . . . . 9 |- (A .R A) e. V
27		oprex 3983	. . . . . . . . 9 |- (B .R B) e. V
28	26, 27	addgt0sr 5213	. . . . . . . 8 |- ((0R <R (A .R A) /\ 0R <R (B .R B)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
29	25, 28	syl6 22	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R /\ -. B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
30	29	exp3a 375	. . . . . 6 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. A = 0R -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
31	30	com3l 34	. . . . 5 |- (-. A = 0R -> (-. B = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
32	22, 31	pm2.61d 127	. . . 4 |- (-. A = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
33	32	com12 11	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. A = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
34	24	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((B e. R. /\ -. B = 0R) -> 0R <R (B .R B))
35	34	adantrl 394	. . . . . . 7 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R (B .R B))
36		opreq12 3970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A = 0R /\ A = 0R) -> (A .R A) = (0R .R 0R))
37	36	anidms 434	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = 0R -> (A .R A) = (0R .R 0R))
38	37, 9	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . 11 |- (A = 0R -> (A .R A) = 0R)
39	38	opreq1d 3975	. . . . . . . . . 10 |- (A = 0R -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (0R +R (B .R B)))
40		mulclsr 5193	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. R. /\ B e. R.) -> (B .R B) e. R.)
41	40	anidms 434	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. R. -> (B .R B) e. R.)
42		0idsr 5206	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .R B) e. R. -> ((B .R B) +R 0R) = (B .R B))
43	7	elisseti 1818	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R e. V
44	43, 27	addcomsr 5196	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R (B .R B)) = ((B .R B) +R 0R)
45	42, 44	syl5eq 1519	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .R B) e. R. -> (0R +R (B .R B)) = (B .R B))
46	41, 45	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (B e. R. -> (0R +R (B .R B)) = (B .R B))
47	39, 46	sylan9eqr 1529	. . . . . . . . 9 |- ((B e. R. /\ A = 0R) -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (B .R B))
48	47	breq2d 2630	. . . . . . . 8 |- ((B e. R. /\ A = 0R) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (B .R B)))
49	48	adantrr 395	. . . . . . 7 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (B .R B)))
50	35, 49	mpbird 196	. . . . . 6 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
51	50	adantll 392	. . . . 5 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
52	51	exp32 377	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A = 0R -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
53	52, 30	pm2.61d 127	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
54	33, 53	jaod 424	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R \/ -. B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
55		ianor 305	. 2 |- (-. (A = 0R /\ B = 0R) <-> (-. A = 0R \/ -. B = 0R))
56	54, 55	syl5ib 206	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. (A = 0R /\ B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994   +R cplr 4997   .R cmr 4998   <R cltr 4999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173

Copyright terms: Public domain