Theorem ssdmres 3387

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 2056	. 2 |- (A (_ dom B <-> (A i^i dom B) = A)
2		dmres 3386	. . 3 |- dom ( B |` A) = (A i^i dom B)
3	2	eqeq1i 1485	. 2 |- (dom ( B |` A) = A <-> (A i^i dom B) = A)
4	1, 3	bitr4 176	1 |- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   i^i cin 2049   (_ wss 2050  dom cdm 3176   |` cres 3178

This theorem is referenced by:  dmresi 3405  fnssresb 3605  fores 3687  sbthlem4 4456  metreslem 7819  resgrprn 8091  hhssabl 9127  hhssnv 9129  hhshsslem1 9132  ghomfo 10386

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-dm 3194  df-res 3196

Copyright terms: Public domain