Theorem sqrmuli 6642

Description: Square root distributes over multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrth.1	|- A e. RR
sqr11.1	|- B e. RR
sqrmuli.1	|- 0 <_ A
sqrmuli.2	|- 0 <_ B

Assertion

Ref	Expression
sqrmuli	|- (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))

Proof of Theorem sqrmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrmuli.1	. . . . 5 |- 0 <_ A
2		sqrth.1	. . . . . 6 |- A e. RR
3	2	sqrth 6637	. . . . 5 |- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
4	1, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A
5		sqrmuli.2	. . . . 5 |- 0 <_ B
6		sqr11.1	. . . . . 6 |- B e. RR
7	6	sqrth 6637	. . . . 5 |- (0 <_ B -> ((sqr` B) x. (sqr` B)) = B)
8	5, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- ((sqr` B) x. (sqr` B)) = B
9	4, 8	opreq12i 3964	. . 3 |- (((sqr` A) x. (sqr` A)) x. ((sqr` B) x. (sqr` B))) = (A x. B)
10	2	sqrcl 6638	. . . . . 6 |- (0 <_ A -> (sqr` A) e. RR)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` A) e. RR
12	11	recn 5294	. . . 4 |- (sqr` A) e. CC
13	6	sqrcl 6638	. . . . . 6 |- (0 <_ B -> (sqr` B) e. RR)
14	5, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` B) e. RR
15	14	recn 5294	. . . 4 |- (sqr` B) e. CC
16	12, 15, 12, 15	mul4 5405	. . 3 |- (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) = (((sqr` A) x. (sqr` A)) x. ((sqr` B) x. (sqr` B)))
17	2, 6	mulge0 5589	. . . . 5 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> 0 <_ (A x. B))
18	1, 5, 17	mp2an 696	. . . 4 |- 0 <_ (A x. B)
19	2, 6	remulcl 5315	. . . . 5 |- (A x. B) e. RR
20	19	sqrth 6637	. . . 4 |- (0 <_ (A x. B) -> ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (A x. B))
21	18, 20	ax-mp 7	. . 3 |- ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (A x. B)
22	9, 16, 21	3eqtr4r 1503	. 2 |- ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B)))
23	19	sqrge0 6640	. . . 4 |- (0 <_ (A x. B) -> 0 <_ (sqr` (A x. B)))
24	18, 23	ax-mp 7	. . 3 |- 0 <_ (sqr` (A x. B))
25	2	sqrge0 6640	. . . . 5 |- (0 <_ A -> 0 <_ (sqr` A))
26	1, 25	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (sqr` A)
27	6	sqrge0 6640	. . . . 5 |- (0 <_ B -> 0 <_ (sqr` B))
28	5, 27	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (sqr` B)
29	11, 14	mulge0 5589	. . . 4 |- ((0 <_ (sqr` A) /\ 0 <_ (sqr` B)) -> 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B)))
30	26, 28, 29	mp2an 696	. . 3 |- 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B))
31	19	sqrcl 6638	. . . . 5 |- (0 <_ (A x. B) -> (sqr` (A x. B)) e. RR)
32	18, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (sqr` (A x. B)) e. RR
33	11, 14	remulcl 5315	. . . 4 |- ((sqr` A) x. (sqr` B)) e. RR
34	32, 33	msq11 5839	. . 3 |- ((0 <_ (sqr` (A x. B)) /\ 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B))) -> (((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) <-> (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))))
35	24, 30, 34	mp2an 696	. 2 |- (((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) <-> (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B)))
36	22, 35	mpbi 189	1 |- (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   x. cmul 5219   <_ cle 5275  sqrcsqr 6607

This theorem is referenced by:  sqrmul 6643  absmul 6790  sincos4thpi 8646  normlem6 8920  norm-iii 8945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-sqr 6608

Copyright terms: Public domain