Theorem sqrlem22 6632

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem21.3	|- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
sqrlem21.4	|- B = sup(S, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
sqrlem22	|- -. (B x. B) < A

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S

Proof of Theorem sqrlem22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem21.4	. 2 |- B = sup(S, RR, < )
2		eqeq1 1478	. . . 4 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (B = sup(S, RR, < ) <-> if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, RR, < )))
3	2	negbid 610	. . 3 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (-. B = sup(S, RR, < ) <-> -. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, RR, < )))
4		sqrlem1.1	. . . 4 |- A e. RR
5		sqrlem1.2	. . . 4 |- 0 < A
6		sqrlem21.3	. . . . . 6 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
7	4, 5, 6, 1	sqrlem7 6617	. . . . 5 |- B e. RR
8		1re 5415	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
9	8, 4	readdcl 5314	. . . . . 6 |- (1 + A) e. RR
10		lt01 5661	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11	8, 4, 10, 5	addgt0i 5583	. . . . . . 7 |- 0 < (1 + A)
12	9, 11	gt0ne0i 5599	. . . . . 6 |- (1 + A) =/= 0
13	4, 9, 12	redivcl 5762	. . . . 5 |- (A / (1 + A)) e. RR
14	7, 13	keepel 2395	. . . 4 |- if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) e. RR
15		breq2 2618	. . . . 5 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (0 < B <-> 0 < if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
16		breq2 2618	. . . . 5 |- ((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (0 < (A / (1 + A)) <-> 0 < if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
17	4, 5, 6, 1	sqrlem8 6618	. . . . 5 |- 0 < B
18	4, 5	sqrlem3 6613	. . . . 5 |- 0 < (A / (1 + A))
19	15, 16, 17, 18	keephyp 2392	. . . 4 |- 0 < if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))
20		opreq12 3961	. . . . . . 7 |- ((B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) /\ B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) -> (B x. B) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
21	20	anidms 434	. . . . . 6 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (B x. B) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
22	21	breq1d 2624	. . . . 5 |- (B = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> ((B x. B) < A <-> (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A))
23		opreq12 3961	. . . . . . 7 |- (((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) /\ (A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) -> ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
24	23	anidms 434	. . . . . 6 |- ((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))))
25	24	breq1d 2624	. . . . 5 |- ((A / (1 + A)) = if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) -> (((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A <-> (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A))
26	4, 5	sqrlem2 6612	. . . . 5 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A
27	22, 25, 26	elimhyp 2386	. . . 4 |- (if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) x. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A)))) < A
28	4, 5, 14, 19, 27, 6	sqrlem20 6630	. . 3 |- -. if((B x. B) < A, B, (A / (1 + A))) = sup(S, RR, < )
29	3, 28	dedth 2379	. 2 |- ((B x. B) < A -> -. B = sup(S, RR, < ))
30	1, 29	mt2 109	1 |- -. (B x. B) < A

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645  ifcif 2357   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  supcsup 4553  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466

This theorem is referenced by:  sqrlem23 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680

Copyright terms: Public domain