Theorem sqrlem2 6604

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
sqrlem2	|- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A

Proof of Theorem sqrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		sqrlem1.2	. . . . 5 |- 0 < A
3	1, 2	sqrlem1 6603	. . . 4 |- A < ((1 + A) x. (1 + A))
4		1re 5407	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
5	4, 1	readdcl 5306	. . . . . . 7 |- (1 + A) e. RR
6	5, 5	remulcl 5307	. . . . . 6 |- ((1 + A) x. (1 + A)) e. RR
7	1, 6, 1	ltmul2 5790	. . . . 5 |- (0 < A -> (A < ((1 + A) x. (1 + A)) <-> (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A)))))
8	2, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (A < ((1 + A) x. (1 + A)) <-> (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A))))
9	3, 8	mpbi 189	. . 3 |- (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A)))
10	1, 1	remulcl 5307	. . . 4 |- (A x. A) e. RR
11	1, 6	remulcl 5307	. . . 4 |- (A x. ((1 + A) x. (1 + A))) e. RR
12		0re 5412	. . . . . 6 |- 0 e. RR
13	12, 1, 6	lttr 5559	. . . . 5 |- ((0 < A /\ A < ((1 + A) x. (1 + A))) -> 0 < ((1 + A) x. (1 + A)))
14	2, 3, 13	mp2an 695	. . . 4 |- 0 < ((1 + A) x. (1 + A))
15	10, 11, 6, 14	ltdiv1i 5779	. . 3 |- ((A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A))) <-> ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A))) < ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A))))
16	9, 15	mpbi 189	. 2 |- ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A))) < ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A)))
17	1	recn 5286	. . 3 |- A e. CC
18	5	recn 5286	. . 3 |- (1 + A) e. CC
19		lt01 5653	. . . . 5 |- 0 < 1
20	4, 1, 19, 2	addgt0i 5575	. . . 4 |- 0 < (1 + A)
21	5, 20	gt0ne0i 5591	. . 3 |- (1 + A) =/= 0
22	17, 18, 17, 18, 21, 21	divmuldiv 5742	. 2 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A)))
23	6	recn 5286	. . . 4 |- ((1 + A) x. (1 + A)) e. CC
24	6, 14	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- ((1 + A) x. (1 + A)) =/= 0
25	17, 23, 23, 24	divass 5709	. . 3 |- ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A))) = (A x. (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A))))
26	23, 24	divid 5726	. . . 4 |- (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A))) = 1
27	26	opreq2i 3957	. . 3 |- (A x. (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A)))) = (A x. 1)
28	17	mulid1 5304	. . 3 |- (A x. 1) = A
29	25, 27, 28	3eqtrr 1492	. 2 |- A = ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A)))
30	16, 22, 29	3brtr4 2633	1 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   < clt 5458

This theorem is referenced by:  sqrlem8 6610  sqrlem22 6624

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain