Theorem sqrlem10 6682

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem9.3	|- B e. RR
sqrlem9.4	|- C e. RR
sqrlem9.5	|- 0 < B
sqrlem9.6	|- A < (B x. B)
sqrlem9.7	|- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))

Assertion

Ref	Expression
sqrlem10	|- C < B

Proof of Theorem sqrlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem9.7	. 2 |- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
2		sqrlem9.6	. . . . . . . 8 |- A < (B x. B)
3		sqrlem1.1	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
4		sqrlem9.3	. . . . . . . . . 10 |- B e. RR
5	4, 4	remulcl 5335	. . . . . . . . 9 |- (B x. B) e. RR
6		sqrlem9.5	. . . . . . . . 9 |- 0 < B
7	3, 5, 4, 6	ltdiv1i 5823	. . . . . . . 8 |- (A < (B x. B) <-> (A / B) < ((B x. B) / B))
8	2, 7	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (A / B) < ((B x. B) / B)
9	4	recn 5314	. . . . . . . 8 |- B e. CC
10	4, 6	gt0ne0i 5617	. . . . . . . 8 |- B =/= 0
11	9, 9, 10	divcan4 5753	. . . . . . 7 |- ((B x. B) / B) = B
12	8, 11	breqtr 2638	. . . . . 6 |- (A / B) < B
13	3, 4, 10	redivcl 5798	. . . . . . 7 |- (A / B) e. RR
14	13, 4, 4	ltadd2 5590	. . . . . 6 |- ((A / B) < B <-> (B + (A / B)) < (B + B))
15	12, 14	mpbi 189	. . . . 5 |- (B + (A / B)) < (B + B)
16		1re 5435	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
17	16, 16	readdcl 5334	. . . . . . . 8 |- (1 + 1) e. RR
18	17	recn 5314	. . . . . . 7 |- (1 + 1) e. CC
19	9, 18	mulcom 5323	. . . . . 6 |- (B x. (1 + 1)) = ((1 + 1) x. B)
20	9	1p1times 5433	. . . . . 6 |- ((1 + 1) x. B) = (B + B)
21	19, 20	eqtr 1495	. . . . 5 |- (B x. (1 + 1)) = (B + B)
22	15, 21	breqtrr 2640	. . . 4 |- (B + (A / B)) < (B x. (1 + 1))
23	4, 13	readdcl 5334	. . . . 5 |- (B + (A / B)) e. RR
24	4, 17	remulcl 5335	. . . . 5 |- (B x. (1 + 1)) e. RR
25		lt01 5680	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	16, 16, 25, 25	addgt0i 5601	. . . . 5 |- 0 < (1 + 1)
27	23, 24, 17, 26	ltdiv1i 5823	. . . 4 |- ((B + (A / B)) < (B x. (1 + 1)) <-> ((B + (A / B)) / (1 + 1)) < ((B x. (1 + 1)) / (1 + 1)))
28	22, 27	mpbi 189	. . 3 |- ((B + (A / B)) / (1 + 1)) < ((B x. (1 + 1)) / (1 + 1))
29	17, 26	gt0ne0i 5617	. . . 4 |- (1 + 1) =/= 0
30	9, 18, 29	divcan4 5753	. . 3 |- ((B x. (1 + 1)) / (1 + 1)) = B
31	28, 30	breqtr 2638	. 2 |- ((B + (A / B)) / (1 + 1)) < B
32	1, 31	eqbrtr 2634	1 |- C < B

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   < clt 5486

This theorem is referenced by:  sqrlem14 6686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703

Copyright terms: Public domain