Theorem sqr2irrlem4 6665

Description: Lemma for irrationality of square root of 2.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem4.1	|- A e. NN
sqr2irrlem4.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem4	|- ((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))

Proof of Theorem sqr2irrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem4.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
2	1	nncn 5888	. . . . . 6 |- A e. CC
3		sqr2irrlem4.2	. . . . . . 7 |- B e. NN
4	3	nncn 5888	. . . . . 6 |- B e. CC
5	3	nnne0 5907	. . . . . 6 |- B =/= 0
6	2, 4, 5	sqdiv 6556	. . . . 5 |- ((A / B)^2) = ((A^2) / (B^2))
7	6	eqcomi 1476	. . . 4 |- ((A^2) / (B^2)) = ((A / B)^2)
8	3	nnsqcl 6598	. . . . . 6 |- (B^2) e. NN
9	8	nncn 5888	. . . . 5 |- (B^2) e. CC
10		2cn 5935	. . . . 5 |- 2 e. CC
11	8	nnne0 5907	. . . . 5 |- (B^2) =/= 0
12	9, 10, 11	divcan4 5723	. . . 4 |- ((2 x. (B^2)) / (B^2)) = 2
13	7, 12	eqeq12i 1485	. . 3 |- (((A^2) / (B^2)) = ((2 x. (B^2)) / (B^2)) <-> ((A / B)^2) = 2)
14	1	nnre 5887	. . . . . 6 |- A e. RR
15	14	resqcl 6562	. . . . 5 |- (A^2) e. RR
16	15	recn 5294	. . . 4 |- (A^2) e. CC
17		2re 5934	. . . . . 6 |- 2 e. RR
18	8	nnre 5887	. . . . . 6 |- (B^2) e. RR
19	17, 18	remulcl 5315	. . . . 5 |- (2 x. (B^2)) e. RR
20	19	recn 5294	. . . 4 |- (2 x. (B^2)) e. CC
21	16, 20, 9, 11	div11 5728	. . 3 |- (((A^2) / (B^2)) = ((2 x. (B^2)) / (B^2)) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))
22		eqcom 1474	. . 3 |- (((A / B)^2) = 2 <-> 2 = ((A / B)^2))
23	13, 21, 22	3bitr3 181	. 2 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) <-> 2 = ((A / B)^2))
24		0re 5420	. . . 4 |- 0 e. RR
25		2pos 5944	. . . 4 |- 0 < 2
26	24, 17, 25	ltlei 5562	. . 3 |- 0 <_ 2
27	3	nnre 5887	. . . . 5 |- B e. RR
28	14, 27, 5	redivcl 5762	. . . 4 |- (A / B) e. RR
29	28	sqge0 6567	. . 3 |- 0 <_ ((A / B)^2)
30	28	resqcl 6562	. . . 4 |- ((A / B)^2) e. RR
31	17, 30	sqr11 6641	. . 3 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ ((A / B)^2)) -> ((sqr` 2) = (sqr` ((A / B)^2)) <-> 2 = ((A / B)^2)))
32	26, 29, 31	mp2an 696	. 2 |- ((sqr` 2) = (sqr` ((A / B)^2)) <-> 2 = ((A / B)^2))
33	1	nngt0 5906	. . . . . 6 |- 0 < A
34	3	nngt0 5906	. . . . . 6 |- 0 < B
35	14, 27, 33, 34	divgt0i 5822	. . . . 5 |- 0 < (A / B)
36	24, 28, 35	ltlei 5562	. . . 4 |- 0 <_ (A / B)
37	28	sqrsq 6658	. . . 4 |- (0 <_ (A / B) -> (sqr` ((A / B)^2)) = (A / B))
38	36, 37	ax-mp 7	. . 3 |- (sqr` ((A / B)^2)) = (A / B)
39	38	eqeq2i 1482	. 2 |- ((sqr` 2) = (sqr` ((A / B)^2)) <-> (sqr` 2) = (A / B))
40	23, 32, 39	3bitr2r 180	1 |- ((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  0cc0 5214   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  2c2 5916  ^cexp 6508  sqrcsqr 6607

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem5 6666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608

Copyright terms: Public domain