Theorem sqgt0sr 5187

Description: The square of a nonzero signed real is positive.

Hypothesis

Ref	Expression
sqgt0sr.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	|- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5161	. . . 4 |- 0R e. R.
2		ltsosr 5175	. . . . 5 |- <R Or R.
3		sotrieq 2852	. . . . 5 |- (( <R Or R. /\ (A e. R. /\ 0R e. R.)) -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
4	2, 3	mpan 693	. . . 4 |- ((A e. R. /\ 0R e. R.) -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
5	1, 4	mpan2 694	. . 3 |- (A e. R. -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
6	5	con2bid 524	. 2 |- (A e. R. -> ((A <R 0R \/ 0R <R A) <-> -. A = 0R))
7		m1r 5163	. . . . . . . 8 |- -1R e. R.
8		mulclsr 5165	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ -1R e. R.) -> (A .R -1R) e. R.)
9	7, 8	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> (A .R -1R) e. R.)
10		sqgt0sr.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
11	1	elisseti 1809	. . . . . . . 8 |- 0R e. V
12	10, 11	ltasr 5181	. . . . . . 7 |- ((A .R -1R) e. R. -> (A <R 0R <-> ((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R)))
13	9, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A <R 0R <-> ((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R)))
14		pn0sr 5182	. . . . . . . 8 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)
15		oprex 3968	. . . . . . . . 9 |- (A .R -1R) e. V
16	15, 10	addcomsr 5168	. . . . . . . 8 |- ((A .R -1R) +R A) = (A +R (A .R -1R))
17	14, 16	syl5eq 1511	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R A) = 0R)
18		0idsr 5178	. . . . . . . 8 |- ((A .R -1R) e. R. -> ((A .R -1R) +R 0R) = (A .R -1R))
19	9, 18	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R 0R) = (A .R -1R))
20	17, 19	breq12d 2621	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R) <-> 0R <R (A .R -1R)))
21	13, 20	bitrd 526	. . . . 5 |- (A e. R. -> (A <R 0R <-> 0R <R (A .R -1R)))
22	15, 15	mulgt0sr 5186	. . . . . 6 |- ((0R <R (A .R -1R) /\ 0R <R (A .R -1R)) -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)))
23	22	anidms 434	. . . . 5 |- (0R <R (A .R -1R) -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)))
24	21, 23	syl6bi 214	. . . 4 |- (A e. R. -> (A <R 0R -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R))))
25		mulclsr 5165	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> (A .R A) e. R.)
26		1idsr 5179	. . . . . . . 8 |- ((A .R A) e. R. -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
28	27	anidms 434	. . . . . 6 |- (A e. R. -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
29	7	elisseti 1809	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
30		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- x e. V
31		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- y e. V
32	30, 31	mulcomsr 5170	. . . . . . . 8 |- (x .R y) = (y .R x)
33		visset 1804	. . . . . . . . 9 |- z e. V
34	31, 33	mulasssr 5171	. . . . . . . 8 |- ((x .R y) .R z) = (x .R (y .R z))
35	10, 29, 10, 32, 34, 29	caopr4 4050	. . . . . . 7 |- ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = ((A .R A) .R (-1R .R -1R))
36		m1m1sr 5174	. . . . . . . 8 |- (-1R .R -1R) = 1R
37	36	opreq2i 3957	. . . . . . 7 |- ((A .R A) .R (-1R .R -1R)) = ((A .R A) .R 1R)
38	35, 37	eqtr 1487	. . . . . 6 |- ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = ((A .R A) .R 1R)
39	28, 38	syl5eq 1511	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = (A .R A))
40	39	breq2d 2620	. . . 4 |- (A e. R. -> (0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) <-> 0R <R (A .R A)))
41	24, 40	sylibd 202	. . 3 |- (A e. R. -> (A <R 0R -> 0R <R (A .R A)))
42	10, 10	mulgt0sr 5186	. . . . 5 |- ((0R <R A /\ 0R <R A) -> 0R <R (A .R A))
43	42	anidms 434	. . . 4 |- (0R <R A -> 0R <R (A .R A))
44	43	a1i 8	. . 3 |- (A e. R. -> (0R <R A -> 0R <R (A .R A)))
45	41, 44	jaod 424	. 2 |- (A e. R. -> ((A <R 0R \/ 0R <R A) -> 0R <R (A .R A)))
46	6, 45	sylbird 205	1 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   class class class wbr 2609   Or wor 2830  (class class class)co 3948  R.cnr 4965  0Rc0r 4966  1Rc1r 4967  -1Rcm1r 4968   +R cplr 4969   .R cmr 4970   <R cltr 4971

This theorem is referenced by:  recexsr 5188  ssgt0sr 5189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145

Copyright terms: Public domain