Theorem sqeqort 6662

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqeqort	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A^2) = (B^2) <-> (A = B \/ A = -uB)))

Proof of Theorem sqeqort

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3982	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A^2) = (if(A e. CC, A, 0)^2))
2	1	eqeq1d 1490	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A^2) = (B^2) <-> (if(A e. CC, A, 0)^2) = (B^2)))
3		eqeq1 1488	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A = B <-> if(A e. CC, A, 0) = B))
4		eqeq1 1488	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A = -uB <-> if(A e. CC, A, 0) = -uB))
5	3, 4	orbi12d 630	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A = B \/ A = -uB) <-> (if(A e. CC, A, 0) = B \/ if(A e. CC, A, 0) = -uB)))
6	2, 5	bibi12d 632	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (((A^2) = (B^2) <-> (A = B \/ A = -uB)) <-> ((if(A e. CC, A, 0)^2) = (B^2) <-> (if(A e. CC, A, 0) = B \/ if(A e. CC, A, 0) = -uB))))
7		opreq1 3982	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (B^2) = (if(B e. CC, B, 0)^2))
8	7	eqeq2d 1493	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0)^2) = (B^2) <-> (if(A e. CC, A, 0)^2) = (if(B e. CC, B, 0)^2)))
9		eqeq2 1491	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) = B <-> if(A e. CC, A, 0) = if(B e. CC, B, 0)))
10		negeq 5372	. . . . 5 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> -uB = -uif(B e. CC, B, 0))
11	10	eqeq2d 1493	. . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) = -uB <-> if(A e. CC, A, 0) = -uif(B e. CC, B, 0)))
12	9, 11	orbi12d 630	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) = B \/ if(A e. CC, A, 0) = -uB) <-> (if(A e. CC, A, 0) = if(B e. CC, B, 0) \/ if(A e. CC, A, 0) = -uif(B e. CC, B, 0))))
13	8, 12	bibi12d 632	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0)^2) = (B^2) <-> (if(A e. CC, A, 0) = B \/ if(A e. CC, A, 0) = -uB)) <-> ((if(A e. CC, A, 0)^2) = (if(B e. CC, B, 0)^2) <-> (if(A e. CC, A, 0) = if(B e. CC, B, 0) \/ if(A e. CC, A, 0) = -uif(B e. CC, B, 0)))))
14		0cn 5341	. . . 4 |- 0 e. CC
15	14	elimel 2404	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
16	14	elimel 2404	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
17	15, 16	sqeqor 6660	. 2 |- ((if(A e. CC, A, 0)^2) = (if(B e. CC, B, 0)^2) <-> (if(A e. CC, A, 0) = if(B e. CC, B, 0) \/ if(A e. CC, A, 0) = -uif(B e. CC, B, 0)))
18	6, 13, 17	dedth2h 2397	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A^2) = (B^2) <-> (A = B \/ A = -uB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962  ifcif 2371  (class class class)co 3977  CCcc 5245  0cc0 5247  -ucneg 5306  2c2 5967  ^cexp 6581

This theorem is referenced by:  efifolem6 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-n 5931  df-2 5976  df-n0 6106  df-z 6142  df-seq1 6491  df-exp 6582

Copyright terms: Public domain