Theorem sqeqor 6586

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse.

Hypotheses

Ref	Expression
binom2.1	|- A e. CC
binom2.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
sqeqor	|- ((A^2) = (B^2) <-> (A = B \/ A = -uB))

Proof of Theorem sqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2.1	. . . . 5 |- A e. CC
2		binom2.2	. . . . 5 |- B e. CC
3	1, 2	binom2aOLD 6584	. . . 4 |- ((A + B) x. (A - B)) = ((A^2) - (B^2))
4	3	eqeq1i 1479	. . 3 |- (((A + B) x. (A - B)) = 0 <-> ((A^2) - (B^2)) = 0)
5	1, 2	addcl 5300	. . . 4 |- (A + B) e. CC
6	1, 2	subcl 5346	. . . 4 |- (A - B) e. CC
7	5, 6	mul0or 5671	. . 3 |- (((A + B) x. (A - B)) = 0 <-> ((A + B) = 0 \/ (A - B) = 0))
8	1	sqcl 6553	. . . 4 |- (A^2) e. CC
9	2	sqcl 6553	. . . 4 |- (B^2) e. CC
10	8, 9	subeq0 5385	. . 3 |- (((A^2) - (B^2)) = 0 <-> (A^2) = (B^2))
11	4, 7, 10	3bitr3r 182	. 2 |- ((A^2) = (B^2) <-> ((A + B) = 0 \/ (A - B) = 0))
12		orcom 246	. 2 |- (((A + B) = 0 \/ (A - B) = 0) <-> ((A - B) = 0 \/ (A + B) = 0))
13	1, 2	subeq0 5385	. . 3 |- ((A - B) = 0 <-> A = B)
14	1, 2	subneg 5384	. . . . 5 |- (A - -uB) = (A + B)
15	14	eqeq1i 1479	. . . 4 |- ((A - -uB) = 0 <-> (A + B) = 0)
16	2	negcl 5349	. . . . 5 |- -uB e. CC
17	1, 16	subeq0 5385	. . . 4 |- ((A - -uB) = 0 <-> A = -uB)
18	15, 17	bitr3 175	. . 3 |- ((A + B) = 0 <-> A = -uB)
19	13, 18	orbi12i 257	. 2 |- (((A - B) = 0 \/ (A + B) = 0) <-> (A = B \/ A = -uB))
20	11, 12, 19	3bitr 177	1 |- ((A^2) = (B^2) <-> (A = B \/ A = -uB))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 954   e. wcel 956  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272  -ucneg 5273  2c2 5916  ^cexp 6508

This theorem is referenced by:  subsq0 6587  sqeqort 6588  sinhalfpilem 8617  efifolem2 8657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain