Theorem sq01t 6651

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1.

Assertion

Ref	Expression
sq01t	|- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A = 0 \/ A = 1)))

Proof of Theorem sq01t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqvalt 6609	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A^2) = (A x. A))
2		ax1id 5282	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
3	2	eqcomd 1480	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> A = (A x. 1))
4	1, 3	eqeq12d 1489	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A x. A) = (A x. 1)))
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A <-> (A x. A) = (A x. 1)))
6		ax1cn 5269	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		mulcantOLD 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
8	6, 7	mp3anl3 912	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A e. CC) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
9	8	anabsan 504	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
10	5, 9	bitrd 528	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A <-> A = 1))
11	10	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A -> A = 1))
12	11	ex 373	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A =/= 0 -> ((A^2) = A -> A = 1)))
13	12	com23 32	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((A^2) = A -> (A =/= 0 -> A = 1)))
14	13	imp 350	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (A =/= 0 -> A = 1))
15		df-ne 1587	. . . . 5 |- (A =/= 0 <-> -. A = 0)
16	14, 15	syl5ibr 207	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (-. A = 0 -> A = 1))
17	16	orrd 233	. . 3 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (A = 0 \/ A = 1))
18	17	ex 373	. 2 |- (A e. CC -> ((A^2) = A -> (A = 0 \/ A = 1)))
19		sq0 6635	. . . 4 |- (0^2) = 0
20		opreq1 3968	. . . 4 |- (A = 0 -> (A^2) = (0^2))
21		id 59	. . . 4 |- (A = 0 -> A = 0)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 1532	. . 3 |- (A = 0 -> (A^2) = A)
23		sq1 6637	. . . 4 |- (1^2) = 1
24		opreq1 3968	. . . 4 |- (A = 1 -> (A^2) = (1^2))
25		id 59	. . . 4 |- (A = 1 -> A = 1)
26	23, 24, 25	3eqtr4a 1532	. . 3 |- (A = 1 -> (A^2) = A)
27	22, 26	jaoi 341	. 2 |- ((A = 0 \/ A = 1) -> (A^2) = A)
28	18, 27	impbid1 517	1 |- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A = 0 \/ A = 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239  2c2 5961  ^cexp 6568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain