Theorem specvalt 9741

Description: The value of the spectrum of an operator.

Assertion

Ref	Expression
specvalt	|- (T:H~-->H~ -> (Lambda` T) = {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem specvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnex 5239	. . 3 |- CC e. V
2	1	rabex 2715	. 2 |- {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~} e. V
3		ax-hilex 8790	. 2 |- H~ e. V
4		opreq1 3953	. . . . 5 |- (t = T -> (t -op (x .op (I |` H~))) = (T -op (x .op (I |` H~))))
5		f1eq1 3645	. . . . 5 |- ((t -op (x .op (I |` H~))) = (T -op (x .op (I |` H~))) -> ((t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~ <-> (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~))
6	4, 5	syl 10	. . . 4 |- (t = T -> ((t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~ <-> (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~))
7	6	negbid 609	. . 3 |- (t = T -> (-. (t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~ <-> -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~))
8	7	rabbisdv 1798	. 2 |- (t = T -> {x e. CC | -. (t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~} = {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})
9		df-spec 9698	. 2 |- Lambda = {<.t, y>. | (t:H~-->H~ /\ y = {x e. CC | -. (t -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})}
10	2, 3, 3, 8, 9	fvopabf4 4324	1 |- (T:H~-->H~ -> (Lambda` T) = {x e. CC | -. (T -op (x .op (I |` H~))):H~-1-1->H~})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953  {crab 1640  Icid 2820   |` cres 3162  -->wf 3168  -1-1->wf1 3169  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  H~chil 8727   .op chot 8747   -op chod 8748  Lambdacspc 8769

This theorem is referenced by:  specclt 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-qs 4250  df-map 4308  df-ni 4972  df-nq 5010  df-np 5058  df-nr 5139  df-c 5212  df-spec 9698

Copyright terms: Public domain