Theorem spansncol 9407

Description: The singletons of collinear vectors have the same span.

Assertion

Ref	Expression
spansncol	|- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (span` {(B .h A)}) = (span` {A}))

Proof of Theorem spansncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulass 8798	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ B e. CC /\ A e. H~) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
2	1	3com13 836	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ y e. CC) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
3	2	3expa 831	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
4	3	eqeq2d 1478	. . . . . . . . 9 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = ((y x. B) .h A) <-> x = (y .h (B .h A))))
5	4	biimprd 154	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> x = ((y x. B) .h A)))
6		axmulcl 5245	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. CC /\ B e. CC) -> (y x. B) e. CC)
7	6	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ y e. CC) -> (y x. B) e. CC)
8	7	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (y x. B) e. CC)
9	5, 8	jctild 599	. . . . . . 7 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> ((y x. B) e. CC /\ x = ((y x. B) .h A))))
10		opreq1 3953	. . . . . . . . 9 |- (z = (y x. B) -> (z .h A) = ((y x. B) .h A))
11	10	eqeq2d 1478	. . . . . . . 8 |- (z = (y x. B) -> (x = (z .h A) <-> x = ((y x. B) .h A)))
12	11	rcla4ev 1868	. . . . . . 7 |- (((y x. B) e. CC /\ x = ((y x. B) .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A))
13	9, 12	syl6 22	. . . . . 6 |- (((A e. H~ /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
14	13	r19.23adva 1739	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. CC) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
15	14	3adant3 797	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
16		ax-hvmulass 8798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z / B) e. CC /\ B e. CC /\ A e. H~) -> (((z / B) x. B) .h A) = ((z / B) .h (B .h A)))
17		divclt 5681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (z / B) e. CC)
18	17	3expb 832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (z / B) e. CC)
19	18	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (z / B) e. CC)
20		simprl 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> B e. CC)
21		simplr 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> A e. H~)
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 856	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((z / B) x. B) .h A) = ((z / B) .h (B .h A)))
23		divcan1t 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((B e. CC /\ z e. CC /\ B =/= 0) -> ((z / B) x. B) = z)
24	23	3exp 830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. CC -> (z e. CC -> (B =/= 0 -> ((z / B) x. B) = z)))
25	24	com12 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. CC -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> ((z / B) x. B) = z)))
26	25	imp32 363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) x. B) = z)
27	26	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) x. B) = z)
28	27	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((z / B) x. B) .h A) = (z .h A))
29	22, 28	eqtr3d 1501	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) .h (B .h A)) = (z .h A))
30	29	eqeq2d 1478	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = ((z / B) .h (B .h A)) <-> x = (z .h A)))
31	30	biimprd 154	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> x = ((z / B) .h (B .h A))))
32	31, 19	jctild 599	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> ((z / B) e. CC /\ x = ((z / B) .h (B .h A)))))
33		opreq1 3953	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (z / B) -> (y .h (B .h A)) = ((z / B) .h (B .h A)))
34	33	eqeq2d 1478	. . . . . . . . . 10 |- (y = (z / B) -> (x = (y .h (B .h A)) <-> x = ((z / B) .h (B .h A))))
35	34	rcla4ev 1868	. . . . . . . . 9 |- (((z / B) e. CC /\ x = ((z / B) .h (B .h A))) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))
36	32, 35	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (((z e. CC /\ A e. H~) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
37	36	exp43 384	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> (A e. H~ -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))))
38	37	com4l 39	. . . . . 6 |- (A e. H~ -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> (z e. CC -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))))
39	38	3imp 825	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (z e. CC -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))
40	39	r19.23adv 1738	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.z e. CC x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
41	15, 40	impbid 514	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
42		hvmulclt 8804	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ A e. H~) -> (B .h A) e. H~)
43	42	ancoms 436	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. CC) -> (B .h A) e. H~)
44		elspansnt 9405	. . . . 5 |- ((B .h A) e. H~ -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
45	43, 44	syl 10	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. CC) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
46	45	3adant3 797	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
47		elspansnt 9405	. . . 4 |- (A e. H~ -> (x e. (span` {A}) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
48	47	3ad2ant1 798	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {A}) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
49	41, 46, 48	3bitr4d 548	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> x e. (span` {A})))
50	49	eqrdv 1466	1 |- ((A e. H~ /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (span` {(B .h A)}) = (span` {A}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638  {csn 2399  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206   x. cmul 5211   / cdiv 5266  H~chil 8727   .h csm 8729  spancspn 8740

This theorem is referenced by:  spansneleq 9409  spansneleqOLD 9410  superpos 10189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac