Theorem snfi 4413

Description: A singleton is finite.

Assertion

Ref	Expression
snfi	|- E.x e. om {A} ~~ x

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem snfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 4406	. . 3 |- (A e. V -> {A} ~~ 1o)
2		1onn 4237	. . . 4 |- 1o e. om
3		breq2 2613	. . . . 5 |- (x = 1o -> ({A} ~~ x <-> {A} ~~ 1o))
4	3	rcla4ev 1868	. . . 4 |- ((1o e. om /\ {A} ~~ 1o) -> E.x e. om {A} ~~ x)
5	2, 4	mpan 693	. . 3 |- ({A} ~~ 1o -> E.x e. om {A} ~~ x)
6	1, 5	syl 10	. 2 |- (A e. V -> E.x e. om {A} ~~ x)
7		snprc 2433	. . 3 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
8		en0 4404	. . . 4 |- ({A} ~~ (/) <-> {A} = (/))
9		peano1 3139	. . . . 5 |- (/) e. om
10		breq2 2613	. . . . . 6 |- (x = (/) -> ({A} ~~ x <-> {A} ~~ (/)))
11	10	rcla4ev 1868	. . . . 5 |- (((/) e. om /\ {A} ~~ (/)) -> E.x e. om {A} ~~ x)
12	9, 11	mpan 693	. . . 4 |- ({A} ~~ (/) -> E.x e. om {A} ~~ x)
13	8, 12	sylbir 201	. . 3 |- ({A} = (/) -> E.x e. om {A} ~~ x)
14	7, 13	sylbi 199	. 2 |- (-. A e. V -> E.x e. om {A} ~~ x)
15	6, 14	pm2.61i 126	1 |- E.x e. om {A} ~~ x

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  Vcvv 1802  (/)c0 2270  {csn 2399   class class class wbr 2609  omcom 3121  1oc1o 4112   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  prfi 4531  abfii3 4537  subbas2 7587  fine 10348  abfi 10349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-1o 4117  df-en 4351

Copyright terms: Public domain