HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem sinperlem1 8605
Description: Lemma for sin2kpi 8607 and cos2kpi 8608.
Assertion
Ref Expression
sinperlem1 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0))
Proof of Theorem sinperlem1
StepHypRef Expression
1 2re 5926 . . . . . . 7 |- 2 e. RR
2 pire 8596 . . . . . . 7 |- pi e. RR
31, 2remulcl 5307 . . . . . 6 |- (2 x. pi) e. RR
43recn 5286 . . . . 5 |- (2 x. pi) e. CC
5 demoivre 7426 . . . . 5 |- (((2 x. pi) e. CC /\ K e. NN0) -> (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
64, 5mpan 693 . . . 4 |- (K e. NN0 -> (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))))
7 1expt 6516 . . . . 5 |- (K e. NN0 -> (1^K) = 1)
8 cos2pi 8604 . . . . . . . 8 |- (cos` (2 x. pi)) = 1
9 sin2pi 8603 . . . . . . . . . 10 |- (sin` (2 x. pi)) = 0
109opreq2i 3957 . . . . . . . . 9 |- (i x. (sin` (2 x. pi))) = (i x. 0)
11 axicn 5242 . . . . . . . . . 10 |- i e. CC
1211mul01 5403 . . . . . . . . 9 |- (i x. 0) = 0
1310, 12eqtr 1487 . . . . . . . 8 |- (i x. (sin` (2 x. pi))) = 0
148, 13opreq12i 3958 . . . . . . 7 |- ((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi)))) = (1 + 0)
15 ax1cn 5241 . . . . . . . 8 |- 1 e. CC
1615addid1 5302 . . . . . . 7 |- (1 + 0) = 1
1714, 16eqtr 1487 . . . . . 6 |- ((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi)))) = 1
1817opreq1i 3956 . . . . 5 |- (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = (1^K)
197, 18syl5eq 1511 . . . 4 |- (K e. NN0 -> (((cos` (2 x. pi)) + (i x. (sin` (2 x. pi))))^K) = 1)
206, 19eqtr3d 1501 . . 3 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = 1)
2112opreq2i 3957 . . . . 5 |- (1 + (i x. 0)) = (1 + 0)
2221, 16eqtr 1487 . . . 4 |- (1 + (i x. 0)) = 1
2322a1i 8 . . 3 |- (K e. NN0 -> (1 + (i x. 0)) = 1)
2420, 23eqtr4d 1502 . 2 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)))
25 1re 5407 . . . . 5 |- 1 e. RR
26 0re 5412 . . . . 5 |- 0 e. RR
2725, 26pm3.2i 285 . . . 4 |- (1 e. RR /\ 0 e. RR)
28 crut 6668 . . . 4 |- ((((cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR) /\ (1 e. RR /\ 0 e. RR)) -> (((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)) <-> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)))
2927, 28mpan2 694 . . 3 |- (((cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR) -> (((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)) <-> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)))
30 nn0ret 6055 . . . . 5 |- (K e. NN0 -> K e. RR)
31 axmulrcl 5246 . . . . . 6 |- ((K e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (K x. (2 x. pi)) e. RR)
323, 31mpan2 694 . . . . 5 |- (K e. RR -> (K x. (2 x. pi)) e. RR)
3330, 32syl 10 . . . 4 |- (K e. NN0 -> (K x. (2 x. pi)) e. RR)
34 recosclt 7381 . . . 4 |- ((K x. (2 x. pi)) e. RR -> (cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
3533, 34syl 10 . . 3 |- (K e. NN0 -> (cos` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
36 resinclt 7380 . . . 4 |- ((K x. (2 x. pi)) e. RR -> (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
3733, 36syl 10 . . 3 |- (K e. NN0 -> (sin` (K x. (2 x. pi))) e. RR)
3829, 35, 37sylanc 471 . 2 |- (K e. NN0 -> (((cos` (K x. (2 x. pi))) + (i x. (sin` (K x. (2 x. pi))))) = (1 + (i x. 0)) <-> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0)))
3924, 38mpbid 195 1 |- (K e. NN0 -> ((cos` (K x. (2 x. pi))) = 1 /\ (sin` (K x. (2 x. pi))) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211  NN0cn0 5269  2c2 5908  ^cexp 6500  sincsin 7237  cosccos 7238  picpi 7239
This theorem is referenced by:  sinperlem2 8606
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-rp 6219  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-ioc 6299  df-ico 6300  df-icc 6301  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-cncf 7198  df-ef 7240  df-sin 7242  df-cos 7243  df-pi 7244  df-top 7534  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860
Copyright terms: Public domain