Theorem sinnegt 7392

Description: The sine of a negative is the negative of the sine.

Assertion

Ref	Expression
sinnegt	|- (A e. CC -> (sin` -uA) = -u(sin` A))

Proof of Theorem sinnegt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axicn 5250	. . . . . . . 8 |- i e. CC
2		mulneg12t 5433	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (-ui x. A) = (i x. -uA))
3	1, 2	mpan 694	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (-ui x. A) = (i x. -uA))
4	3	eqcomd 1477	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. -uA) = (-ui x. A))
5	4	fveq2d 3719	. . . . 5 |- (A e. CC -> (exp` (i x. -uA)) = (exp` (-ui x. A)))
6		mul2negt 5434	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (-ui x. -uA) = (i x. A))
7	1, 6	mpan 694	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (-ui x. -uA) = (i x. A))
8	7	fveq2d 3719	. . . . 5 |- (A e. CC -> (exp` (-ui x. -uA)) = (exp` (i x. A)))
9	5, 8	opreq12d 3969	. . . 4 |- (A e. CC -> ((exp` (i x. -uA)) - (exp` (-ui x. -uA))) = ((exp` (-ui x. A)) - (exp` (i x. A))))
10		negsubdi2t 5438	. . . . 5 |- (((exp` (i x. A)) e. CC /\ (exp` (-ui x. A)) e. CC) -> -u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) = ((exp` (-ui x. A)) - (exp` (i x. A))))
11		axmulcl 5253	. . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
12	1, 11	mpan 694	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
13		efclt 7262	. . . . . 6 |- ((i x. A) e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
15	1	negcl 5349	. . . . . . 7 |- -ui e. CC
16		axmulcl 5253	. . . . . . 7 |- ((-ui e. CC /\ A e. CC) -> (-ui x. A) e. CC)
17	15, 16	mpan 694	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (-ui x. A) e. CC)
18		efclt 7262	. . . . . 6 |- ((-ui x. A) e. CC -> (exp` (-ui x. A)) e. CC)
19	17, 18	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CC -> (exp` (-ui x. A)) e. CC)
20	10, 14, 19	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. CC -> -u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) = ((exp` (-ui x. A)) - (exp` (i x. A))))
21	9, 20	eqtr4d 1507	. . 3 |- (A e. CC -> ((exp` (i x. -uA)) - (exp` (-ui x. -uA))) = -u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))))
22	21	opreq1d 3966	. 2 |- (A e. CC -> (((exp` (i x. -uA)) - (exp` (-ui x. -uA))) / (2 x. i)) = (-u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
23		negclt 5348	. . 3 |- (A e. CC -> -uA e. CC)
24		sinvalt 7379	. . 3 |- (-uA e. CC -> (sin` -uA) = (((exp` (i x. -uA)) - (exp` (-ui x. -uA))) / (2 x. i)))
25	23, 24	syl 10	. 2 |- (A e. CC -> (sin` -uA) = (((exp` (i x. -uA)) - (exp` (-ui x. -uA))) / (2 x. i)))
26		sinvalt 7379	. . . 4 |- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
27	26	negeqd 5341	. . 3 |- (A e. CC -> -u(sin` A) = -u(((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
28		subclt 5347	. . . . 5 |- (((exp` (i x. A)) e. CC /\ (exp` (-ui x. A)) e. CC) -> ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC)
29	28, 14, 19	sylanc 471	. . . 4 |- (A e. CC -> ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC)
30		2cn 5935	. . . . . 6 |- 2 e. CC
31	30, 1	mulcl 5301	. . . . 5 |- (2 x. i) e. CC
32		2ne0 5945	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
33		ine0 5414	. . . . . 6 |- i =/= 0
34	30, 1, 32, 33	muln0 5676	. . . . 5 |- (2 x. i) =/= 0
35		divnegt 5738	. . . . 5 |- ((((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC /\ (2 x. i) e. CC /\ (2 x. i) =/= 0) -> -u(((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) = (-u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
36	31, 34, 35	mp3an23 906	. . . 4 |- (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC -> -u(((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) = (-u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
37	29, 36	syl 10	. . 3 |- (A e. CC -> -u(((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) = (-u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
38	27, 37	eqtrd 1504	. 2 |- (A e. CC -> -u(sin` A) = (-u((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
39	22, 25, 38	3eqtr4d 1514	1 |- (A e. CC -> (sin` -uA) = -u(sin` A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  ici 5216   x. cmul 5219   - cmin 5272  -ucneg 5273   / cdiv 5274  2c2 5916  expce 7243  sincsin 7245

This theorem is referenced by:  sin0ALT 7395  efmivalt 7398  sinsubt 7405  cossubt 7406  sincossqt 7411  pilem1 8609  pilem3 8611  sinperlem2 8625  sin2pim 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248  df-sin 7250

Copyright terms: Public domain