Theorem sinhalfpilem 8617

Description: Lemma for sinhalfpi 8618 and coshalfpi 8619.

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	|- ((sin` (pi / 2)) = 1 /\ (cos` (pi / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt01 5661	. . . . . 6 |- 0 < 1
2		0re 5420	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
3		1re 5415	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
4	2, 3	ltnsym 5558	. . . . . 6 |- (0 < 1 -> -. 1 < 0)
5	1, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- -. 1 < 0
6		lt0neg1t 5649	. . . . . 6 |- (1 e. RR -> (1 < 0 <-> 0 < -u1))
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (1 < 0 <-> 0 < -u1)
8	5, 7	mtbi 191	. . . 4 |- -. 0 < -u1
9		pire 8615	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
10		2re 5934	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
11		2ne0 5945	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
12	9, 10, 11	redivcl 5762	. . . . . . 7 |- (pi / 2) e. RR
13		pipos 8616	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
14		2pos 5944	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
15	9, 10, 13, 14	divgt0i 5822	. . . . . . 7 |- 0 < (pi / 2)
16		4re 5937	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
17		pigt2lt4 8613	. . . . . . . . . 10 |- (2 < pi /\ pi < 4)
18	17	pm3.27i 324	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
19	9, 16, 18	ltlei 5562	. . . . . . . 8 |- pi <_ 4
20		ledivmult 5828	. . . . . . . . . . 11 |- (((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2)))
21	14, 20	mpan2 695	. . . . . . . . . 10 |- ((pi e. RR /\ 2 e. RR /\ 2 e. RR) -> ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2)))
22	9, 10, 10, 21	mp3an 914	. . . . . . . . 9 |- ((pi / 2) <_ 2 <-> pi <_ (2 x. 2))
23		2t2e4 5977	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. 2) = 4
24	23	breq2i 2622	. . . . . . . . 9 |- (pi <_ (2 x. 2) <-> pi <_ 4)
25	22, 24	bitr2 174	. . . . . . . 8 |- (pi <_ 4 <-> (pi / 2) <_ 2)
26	19, 25	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (pi / 2) <_ 2
27		elioc2t 6330	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR) -> ((pi / 2) e. (0(,]2) <-> ((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2)))
28	2, 10, 27	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- ((pi / 2) e. (0(,]2) <-> ((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2))
29	28	biimpr 152	. . . . . . 7 |- (((pi / 2) e. RR /\ 0 < (pi / 2) /\ (pi / 2) <_ 2) -> (pi / 2) e. (0(,]2))
30	12, 15, 26, 29	mp3an 914	. . . . . 6 |- (pi / 2) e. (0(,]2)
31		sin02gt0 7428	. . . . . 6 |- ((pi / 2) e. (0(,]2) -> 0 < (sin` (pi / 2)))
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0 < (sin` (pi / 2))
33		breq2 2618	. . . . 5 |- ((sin` (pi / 2)) = -u1 -> (0 < (sin` (pi / 2)) <-> 0 < -u1))
34	32, 33	mpbii 193	. . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) = -u1 -> 0 < -u1)
35	8, 34	mto 106	. . 3 |- -. (sin` (pi / 2)) = -u1
36		resinclt 7388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((pi / 2) e. RR -> (sin` (pi / 2)) e. RR)
37	12, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (sin` (pi / 2)) e. RR
38	37, 32	gt0ne0i 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- (sin` (pi / 2)) =/= 0
39		df-ne 1584	. . . . . . . . . . . 12 |- ((sin` (pi / 2)) =/= 0 <-> -. (sin` (pi / 2)) = 0)
40	38, 39	mpbi 189	. . . . . . . . . . 11 |- -. (sin` (pi / 2)) = 0
41		df-ne 1584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 =/= 0 <-> -. 2 = 0)
42	11, 41	mpbi 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 2 = 0
43		2cn 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
44	9	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi e. CC
45	43, 44, 11	divcan2 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2 x. (pi / 2)) = pi
46	45	fveq2i 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` (2 x. (pi / 2))) = (sin` pi)
47	12	recn 5294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (pi / 2) e. CC
48		sin2tt 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((pi / 2) e. CC -> (sin` (2 x. (pi / 2))) = (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))))
49	47, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` (2 x. (pi / 2))) = (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))))
50		sinpi 8614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (sin` pi) = 0
51	46, 49, 50	3eqtr3 1500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))) = 0
52		sinclt 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((pi / 2) e. CC -> (sin` (pi / 2)) e. CC)
53	47, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (sin` (pi / 2)) e. CC
54		cosclt 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((pi / 2) e. CC -> (cos` (pi / 2)) e. CC)
55	47, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (cos` (pi / 2)) e. CC
56	53, 55	mulcl 5301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) e. CC
57	43, 56	mul0or 5671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((2 x. ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2)))) = 0 <-> (2 = 0 \/ ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0))
58	51, 57	mpbi 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 = 0 \/ ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0)
59	58	ori 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. 2 = 0 -> ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0)
60	42, 59	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0
61	53, 55	mul0or 5671	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((sin` (pi / 2)) x. (cos` (pi / 2))) = 0 <-> ((sin` (pi / 2)) = 0 \/ (cos` (pi / 2)) = 0))
62	60, 61	mpbi 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ((sin` (pi / 2)) = 0 \/ (cos` (pi / 2)) = 0)
63	62	ori 230	. . . . . . . . . . 11 |- (-. (sin` (pi / 2)) = 0 -> (cos` (pi / 2)) = 0)
64	40, 63	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (cos` (pi / 2)) = 0
65	64	opreq1i 3962	. . . . . . . . 9 |- ((cos` (pi / 2))^2) = (0^2)
66		sq0 6574	. . . . . . . . 9 |- (0^2) = 0
67	65, 66	eqtr 1492	. . . . . . . 8 |- ((cos` (pi / 2))^2) = 0
68	67	opreq2i 3963	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = (((sin` (pi / 2))^2) + 0)
69		sincossqt 7411	. . . . . . . 8 |- ((pi / 2) e. CC -> (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = 1)
70	47, 69	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + ((cos` (pi / 2))^2)) = 1
71	53	sqcl 6553	. . . . . . . 8 |- ((sin` (pi / 2))^2) e. CC
72	71	addid1 5310	. . . . . . 7 |- (((sin` (pi / 2))^2) + 0) = ((sin` (pi / 2))^2)
73	68, 70, 72	3eqtr3r 1501	. . . . . 6 |- ((sin` (pi / 2))^2) = 1
74		sq1 6576	. . . . . 6 |- (1^2) = 1
75	73, 74	eqtr4 1495	. . . . 5 |- ((sin` (pi / 2))^2) = (1^2)
76		ax1cn 5249	. . . . . 6 |- 1 e. CC
77	53, 76	sqeqor 6586	. . . . 5 |- (((sin` (pi / 2))^2) = (1^2) <-> ((sin` (pi / 2)) = 1 \/ (sin` (pi / 2)) = -u1))
78	75, 77	mpbi 189	. . . 4 |- ((sin` (pi / 2)) = 1 \/ (sin` (pi / 2)) = -u1)
79	78	ori 230	. . 3 |- (-. (sin` (pi / 2)) = 1 -> (sin` (pi / 2)) = -u1)
80	35, 79	mt3 112	. 2 |- (sin` (pi / 2)) = 1
81	80, 64	pm3.2i 285	1 |- ((sin` (pi / 2)) = 1 /\ (cos` (pi / 2)) = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219  -ucneg 5273   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  4c4 5918  (,]cioc 6303  ^cexp 6508  sincsin 7245  cosccos 7246  picpi 7247

This theorem is referenced by:  sinhalfpi 8618  coshalfpi 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-5 5928  df-6 5929  df-7 5930  df-8 5931  df-9 5932  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180