Theorem sinco 8667

Description: Sine expressed as a function composition. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinco.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))}
sinco.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))}
sinco.3	|- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. i)))}
sinco.4	|- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w) - ((exp o. G)` w)))}

Assertion

Ref	Expression
sinco	|- sin = (J o. H)

Distinct variable groups:   v,F,w   v,G,w   x,v,y,w

Proof of Theorem sinco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 7440	. . . 4 |- sin:CC-->CC
2		ffn 3627	. . . 4 |- (sin:CC-->CC -> sin Fn CC)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- sin Fn CC
4		sinco.1	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (i x. x))}
5		sinco.2	. . . . 5 |- G = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (-ui x. x))}
6		sinco.3	. . . . 5 |- J = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x / (2 x. i)))}
7		sinco.4	. . . . 5 |- H = {<.w, v>. | (w e. CC /\ v = (((exp o. F)` w) - ((exp o. G)` w)))}
8		subclt 5367	. . . . 5 |- ((((exp o. F)` z) e. CC /\ ((exp o. G)` z) e. CC) -> (((exp o. F)` z) - ((exp o. G)` z)) e. CC)
9		2cn 5980	. . . . . 6 |- 2 e. CC
10		axicn 5270	. . . . . 6 |- i e. CC
11	9, 10	mulcl 5321	. . . . 5 |- (2 x. i) e. CC
12		2ne0 5990	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
13		ine0 5434	. . . . . 6 |- i =/= 0
14	9, 10, 12, 13	muln0 5699	. . . . 5 |- (2 x. i) =/= 0
15	4, 5, 6, 7, 8, 11, 14	sincolem 8665	. . . 4 |- ((J o. H) Fn CC /\ (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (i x. z)) - (exp` (-ui x. z))) / (2 x. i))))
16	15	pm3.26i 320	. . 3 |- (J o. H) Fn CC
17		eqfnfv 3797	. . 3 |- ((sin Fn CC /\ (J o. H) Fn CC) -> (sin = (J o. H) <-> (CC = CC /\ A.z e. CC (sin` z) = ((J o. H)` z))))
18	3, 16, 17	mp2an 697	. 2 |- (sin = (J o. H) <-> (CC = CC /\ A.z e. CC (sin` z) = ((J o. H)` z)))
19		eqid 1475	. 2 |- CC = CC
20		sinvalt 7429	. . . 4 |- (z e. CC -> (sin` z) = (((exp` (i x. z)) - (exp` (-ui x. z))) / (2 x. i)))
21	15	pm3.27i 324	. . . 4 |- (z e. CC -> ((J o. H)` z) = (((exp` (i x. z)) - (exp` (-ui x. z))) / (2 x. i)))
22	20, 21	eqtr4d 1510	. . 3 |- (z e. CC -> (sin` z) = ((J o. H)` z))
23	22	rgen 1698	. 2 |- A.z e. CC (sin` z) = ((J o. H)` z)
24	18, 19, 23	mpbir2an 730	1 |- sin = (J o. H)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {copab 2666   o. ccom 3174   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  ici 5236   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293   / cdiv 5294  2c2 5961  expce 7293  sincsin 7295

This theorem is referenced by:  sincn 8669

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-sin 7300

Copyright terms: Public domain