Theorem sinclt 7381

Description: Closure of the sine function.

Assertion

Ref	Expression
sinclt	|- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)

Proof of Theorem sinclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinvalt 7379	. 2 |- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
2		axicn 5250	. . . . . 6 |- i e. CC
3		axmulcl 5253	. . . . . 6 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
4	2, 3	mpan 694	. . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
5		efclt 7262	. . . . 5 |- ((i x. A) e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
6	4, 5	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
7	2	negcl 5349	. . . . . 6 |- -ui e. CC
8		axmulcl 5253	. . . . . 6 |- ((-ui e. CC /\ A e. CC) -> (-ui x. A) e. CC)
9	7, 8	mpan 694	. . . . 5 |- (A e. CC -> (-ui x. A) e. CC)
10		efclt 7262	. . . . 5 |- ((-ui x. A) e. CC -> (exp` (-ui x. A)) e. CC)
11	9, 10	syl 10	. . . 4 |- (A e. CC -> (exp` (-ui x. A)) e. CC)
12	6, 11	jca 288	. . 3 |- (A e. CC -> ((exp` (i x. A)) e. CC /\ (exp` (-ui x. A)) e. CC))
13		subclt 5347	. . 3 |- (((exp` (i x. A)) e. CC /\ (exp` (-ui x. A)) e. CC) -> ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC)
14		2cn 5935	. . . . 5 |- 2 e. CC
15	14, 2	mulcl 5301	. . . 4 |- (2 x. i) e. CC
16		2ne0 5945	. . . . 5 |- 2 =/= 0
17		ine0 5414	. . . . 5 |- i =/= 0
18	14, 2, 16, 17	muln0 5676	. . . 4 |- (2 x. i) =/= 0
19		divclt 5689	. . . 4 |- ((((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC /\ (2 x. i) e. CC /\ (2 x. i) =/= 0) -> (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. CC)
20	15, 18, 19	mp3an23 906	. . 3 |- (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) e. CC -> (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. CC)
21	12, 13, 20	3syl 20	. 2 |- (A e. CC -> (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. CC)
22	1, 21	eqeltrd 1545	1 |- (A e. CC -> (sin` A) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956   =/= wne 1582  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  ici 5216   x. cmul 5219   - cmin 5272  -ucneg 5273   / cdiv 5274  2c2 5916  expce 7243  sincsin 7245

This theorem is referenced by:  sinf 7390  sin0ALT 7395  efmivalt 7398  sinadd 7401  cosadd 7402  sinsubt 7405  cossubt 7406  addsint 7407  subsint 7408  addcost 7409  subcost 7410  sincossqt 7411  sin2tt 7412  cos2tt 7413  cos2tOLD 7414  demoivre 7434  sinhalfpilem 8617  sinperlem2 8625  sinper 8628  cosper 8629  sinmpi 8632  cosmpi 8633  efimpi 8634  sinhalfpip 8635  sinhalfpim 8636  coshalfpip 8637  coshalfpim 8638  sincos6thpi 8647  efifolem2 8657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-fac 6877  df-clim 6921  df-sum 6926  df-ef 7248  df-sin 7250

Copyright terms: Public domain