Theorem sin4lt0 7423

Description: The sine of 4 is negative. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin4lt0	|- (sin` 4) < 0

Proof of Theorem sin4lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t2e4 5969	. . . 4 |- (2 x. 2) = 4
2	1	fveq2i 3712	. . 3 |- (sin` (2 x. 2)) = (sin` 4)
3		2cn 5927	. . . 4 |- 2 e. CC
4		sin2tt 7404	. . . 4 |- (2 e. CC -> (sin` (2 x. 2)) = (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (sin` (2 x. 2)) = (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2)))
6	2, 5	eqtr3 1489	. 2 |- (sin` 4) = (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2)))
7		sincos2sgn 7422	. . . . . . 7 |- (0 < (sin` 2) /\ (cos` 2) < 0)
8	7	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- (cos` 2) < 0
9		2re 5926	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
10		recosclt 7381	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR -> (cos` 2) e. RR)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (cos` 2) e. RR
12		0re 5412	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
13		resinclt 7380	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR -> (sin` 2) e. RR)
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (sin` 2) e. RR
15	7	pm3.26i 320	. . . . . . . 8 |- 0 < (sin` 2)
16		ltmul2t 5787	. . . . . . . 8 |- ((((cos` 2) e. RR /\ 0 e. RR /\ (sin` 2) e. RR) /\ 0 < (sin` 2)) -> ((cos` 2) < 0 <-> ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0)))
17	15, 16	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (((cos` 2) e. RR /\ 0 e. RR /\ (sin` 2) e. RR) -> ((cos` 2) < 0 <-> ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0)))
18	11, 12, 14, 17	mp3an 913	. . . . . 6 |- ((cos` 2) < 0 <-> ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0))
19	8, 18	mpbi 189	. . . . 5 |- ((sin` 2) x. (cos` 2)) < ((sin` 2) x. 0)
20	14	recn 5286	. . . . . 6 |- (sin` 2) e. CC
21	20	mul01 5403	. . . . 5 |- ((sin` 2) x. 0) = 0
22	19, 21	breqtr 2628	. . . 4 |- ((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0
23	14, 11	remulcl 5307	. . . . 5 |- ((sin` 2) x. (cos` 2)) e. RR
24		2pos 5936	. . . . . 6 |- 0 < 2
25		ltmul2t 5787	. . . . . 6 |- (((((sin` 2) x. (cos` 2)) e. RR /\ 0 e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0 <-> (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0)))
26	24, 25	mpan2 694	. . . . 5 |- ((((sin` 2) x. (cos` 2)) e. RR /\ 0 e. RR /\ 2 e. RR) -> (((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0 <-> (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0)))
27	23, 12, 9, 26	mp3an 913	. . . 4 |- (((sin` 2) x. (cos` 2)) < 0 <-> (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0))
28	22, 27	mpbi 189	. . 3 |- (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < (2 x. 0)
29	3	mul01 5403	. . 3 |- (2 x. 0) = 0
30	28, 29	breqtr 2628	. 2 |- (2 x. ((sin` 2) x. (cos` 2))) < 0
31	6, 30	eqbrtr 2624	1 |- (sin` 4) < 0

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910  sincsin 7237  cosccos 7238

This theorem is referenced by:  pilem1 8590

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-7 5922  df-8 5923  df-9 5924  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioc 6299  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-bc 6894  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240  df-sin 7242  df-cos 7243

Copyright terms: Public domain