Theorem shunss 9252

Description: Union is smaller than subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shunss	|- (A u. B) (_ (A +H B)

Proof of Theorem shunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2	1	shel 9003	. . . . . 6 |- (x e. A -> x e. H~)
3		ax-hvaddid 8795	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (x +h 0h) = x)
4	3	eqcomd 1472	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> x = (x +h 0h))
5	2, 4	syl 10	. . . . 5 |- (x e. A -> x = (x +h 0h))
6		shincl.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
7		sh0 9005	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> 0h e. B)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. B
9		rcla4eopr 3975	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ 0h e. B /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
10	8, 9	mp3an2 901	. . . . 5 |- ((x e. A /\ x = (x +h 0h)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
11	5, 10	mpdan 702	. . . 4 |- (x e. A -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
12	6	shel 9003	. . . . . 6 |- (x e. B -> x e. H~)
13		hvaddid2t 8813	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0h +h x) = x)
14	13	eqcomd 1472	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> x = (0h +h x))
15	12, 14	syl 10	. . . . 5 |- (x e. B -> x = (0h +h x))
16		sh0 9005	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> 0h e. A)
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 0h e. A
18		rcla4eopr 3975	. . . . . 6 |- ((0h e. A /\ x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
19	17, 18	mp3an1 900	. . . . 5 |- ((x e. B /\ x = (0h +h x)) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
20	15, 19	mpdan 702	. . . 4 |- (x e. B -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
21	11, 20	jaoi 341	. . 3 |- ((x e. A \/ x e. B) -> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
22		elun 2163	. . 3 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
23	1, 6	shsel 9195	. . 3 |- (x e. (A +H B) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z))
24	21, 22, 23	3imtr4 219	. 2 |- (x e. (A u. B) -> x e. (A +H B))
25	24	ssriv 2059	1 |- (A u. B) (_ (A +H B)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638   u. cun 2035   (_ wss 2037  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shunssj 9254  shsumval2 9275  shjshs 9330  spanun 9382  osum 9503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-sh 8997  df-shsum 9188

Copyright terms: Public domain