Theorem shsumvalt 9215

Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
shsumvalt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem shsumvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8808	. . 3 |- H~ e. V
2	1	rabex 2720	. 2 |- {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)} e. V
3		rexeq1 1784	. . 3 |- (w = A -> (E.y e. w E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)))
4	3	rabbisdv 1803	. 2 |- (w = A -> {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)})
5		rexeq1 1784	. . . 4 |- (v = B -> (E.z e. v x = (y +h z) <-> E.z e. B x = (y +h z)))
6	5	rexbidv 1661	. . 3 |- (v = B -> (E.y e. A E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
7	6	rabbisdv 1803	. 2 |- (v = B -> {x e. H~ | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})
8		df-shsum 9211	. 2 |- +H = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. SH /\ v e. SH) /\ u = {x e. H~ | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)})}
9	2, 4, 7, 8	oprabval2 4019	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. H~ | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  {crab 1645  (class class class)co 3954  H~chil 8727   +h cva 8728  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shselt 9216  shscl 9219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-shsum 9211

Copyright terms: Public domain