Theorem shsidm 9357

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum.

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	|- A e. SH

Assertion

Ref	Expression
shsidm	|- (A +H A) = A

Proof of Theorem shsidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 |- A e. SH
2	1, 1	shsel 9280	. . . 4 |- (x e. (A +H A) <-> E.y e. A E.z e. A x = (y +h z))
3		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (x = (y +h z) -> (x e. A <-> (y +h z) e. A))
4		shaddcltOLD 9086	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> ((y e. A /\ z e. A) -> (y +h z) e. A))
5	1, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((y e. A /\ z e. A) -> (y +h z) e. A)
6	3, 5	syl5cbir 211	. . . . 5 |- ((y e. A /\ z e. A) -> (x = (y +h z) -> x e. A))
7	6	r19.23aivv 1748	. . . 4 |- (E.y e. A E.z e. A x = (y +h z) -> x e. A)
8	2, 7	sylbi 199	. . 3 |- (x e. (A +H A) -> x e. A)
9	8	ssriv 2069	. 2 |- (A +H A) (_ A
10	1, 1	shsub1 9341	. 2 |- A (_ (A +H A)
11	9, 10	eqssi 2078	1 |- (A +H A) = A

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  (class class class)co 3963   +h cva 8789  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shslub 9358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvaddid 8874

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain