Theorem shselt 9278

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shselt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shselt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsumvalt 9277	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)})
2	1	eleq2d 1541	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)}))
3		eqeq1 1481	. . . . 5 |- (z = C -> (z = (x +h y) <-> C = (x +h y)))
4	3	2rexbidv 1681	. . . 4 |- (z = C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +h y) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
5	4	elrab 1905	. . 3 |- (C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)} <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
6	2, 5	syl6bb 536	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
7		shss 9079	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> A (_ H~)
8	7	sseld 2067	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (x e. A -> x e. H~))
9		shss 9079	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> B (_ H~)
10	9	sseld 2067	. . . . . 6 |- (B e. SH -> (y e. B -> y e. H~))
11	8, 10	im2anan9 563	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (x e. H~ /\ y e. H~)))
12		hvaddclt 8882	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
13		eleq1a 1543	. . . . . 6 |- ((x +h y) e. H~ -> (C = (x +h y) -> C e. H~))
14	12, 13	syl 10	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (C = (x +h y) -> C e. H~))
15	11, 14	syl6 22	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (C = (x +h y) -> C e. H~)))
16	15	r19.23advv 1749	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) -> C e. H~))
17	16	pm4.71rd 639	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
18	6, 17	bitr4d 531	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  {crab 1648  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shsel3t 9279  shsel 9280  shscomt 9283  shsvat 9284  sumdmdi 10342  sumdmdlem 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain