Theorem shsel3t 9217

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
shsel3t	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shsel3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shselt 9216	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.z e. B C = (x +h z)))
2		id 59	. . . . . . . 8 |- (C = (x +h z) -> C = (x +h z))
3		hvaddsubvalt 8841	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
4		shelt 9019	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. SH /\ x e. A) -> x e. H~)
5		shelt 9019	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> z e. H~)
6	3, 4, 5	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. SH /\ x e. A) /\ (B e. SH /\ z e. B)) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
7	6	an4s 508	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (x e. A /\ z e. B)) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
8	7	anassrs 441	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
9	2, 8	sylan9eqr 1526	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x +h z)) -> C = (x -h (-u1 .h z)))
10		opreq2 3960	. . . . . . . . . 10 |- (y = (-u1 .h z) -> (x -h y) = (x -h (-u1 .h z)))
11	10	eqeq2d 1483	. . . . . . . . 9 |- (y = (-u1 .h z) -> (C = (x -h y) <-> C = (x -h (-u1 .h z))))
12	11	rcla4ev 1873	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h z) e. B /\ C = (x -h (-u1 .h z))) -> E.y e. B C = (x -h y))
13		ax1cn 5249	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
14	13	negcl 5349	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
15		shmulclt 9026	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ -u1 e. CC /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
16	14, 15	mp3an2 902	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
17	16	adantll 392	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
18	17	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
19	12, 18	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x -h (-u1 .h z))) -> E.y e. B C = (x -h y))
20	9, 19	syldan 467	. . . . . 6 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x +h z)) -> E.y e. B C = (x -h y))
21	20	ex 373	. . . . 5 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (C = (x +h z) -> E.y e. B C = (x -h y)))
22	21	r19.23adva 1744	. . . 4 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.z e. B C = (x +h z) -> E.y e. B C = (x -h y)))
23		id 59	. . . . . . . 8 |- (C = (x -h y) -> C = (x -h y))
24		hvsubvalt 8825	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
25		shelt 9019	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ y e. B) -> y e. H~)
26	24, 4, 25	syl2an 454	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. SH /\ x e. A) /\ (B e. SH /\ y e. B)) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
27	26	an4s 508	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
28	27	anassrs 441	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
29	23, 28	sylan9eqr 1526	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x -h y)) -> C = (x +h (-u1 .h y)))
30		opreq2 3960	. . . . . . . . . 10 |- (z = (-u1 .h y) -> (x +h z) = (x +h (-u1 .h y)))
31	30	eqeq2d 1483	. . . . . . . . 9 |- (z = (-u1 .h y) -> (C = (x +h z) <-> C = (x +h (-u1 .h y))))
32	31	rcla4ev 1873	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h y) e. B /\ C = (x +h (-u1 .h y))) -> E.z e. B C = (x +h z))
33		shmulclt 9026	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ -u1 e. CC /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
34	14, 33	mp3an2 902	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. SH /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
35	34	adantll 392	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
36	35	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
37	32, 36	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x +h (-u1 .h y))) -> E.z e. B C = (x +h z))
38	29, 37	syldan 467	. . . . . 6 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x -h y)) -> E.z e. B C = (x +h z))
39	38	ex 373	. . . . 5 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (C = (x -h y) -> E.z e. B C = (x +h z)))
40	39	r19.23adva 1744	. . . 4 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.y e. B C = (x -h y) -> E.z e. B C = (x +h z)))
41	22, 40	impbid 515	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.z e. B C = (x +h z) <-> E.y e. B C = (x -h y)))
42	41	rexbidva 1657	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.z e. B C = (x +h z) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))
43	1, 42	bitrd 527	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  (class class class)co 3954  CCcc 5212  1c1 5215  -ucneg 5273  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  pjima 10042

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-hvsub 8779  df-sh 9015  df-shsum 9211

Copyright terms: Public domain