Theorem shsel1t 9200

Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shsel1t	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. A -> C e. (A +H B)))

Proof of Theorem shsel1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shelt 9001	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ C e. A) -> C e. H~)
2		ax-hvaddid 8795	. . . . 5 |- (C e. H~ -> (C +h 0h) = C)
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- ((A e. SH /\ C e. A) -> (C +h 0h) = C)
4	3	adantlr 393	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ C e. A) -> (C +h 0h) = C)
5		sh0 9005	. . . . . 6 |- (B e. SH -> 0h e. B)
6	5	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> 0h e. B)
7		shsvat 9199	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((C e. A /\ 0h e. B) -> (C +h 0h) e. (A +H B)))
8	6, 7	mpan2d 700	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. A -> (C +h 0h) e. (A +H B)))
9	8	imp 350	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ C e. A) -> (C +h 0h) e. (A +H B))
10	4, 9	eqeltrrd 1541	. 2 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ C e. A) -> C e. (A +H B))
11	10	ex 373	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. A -> C e. (A +H B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shsel2t 9201  shsvst 9202  shsub1t 9203  shsel1 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvaddid 8795

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-sh 8997  df-shsum 9188

Copyright terms: Public domain