Theorem shsel 9280

Description: Membership in subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	|- A e. SH
shscl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shsel	|- (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shsel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. 2 |- A e. SH
2		shscl.2	. 2 |- B e. SH
3		shselt 9278	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
4	1, 2, 3	mp2an 697	1 |- (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  (class class class)co 3963   +h cva 8789  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shscl 9281  shunss 9337  shslej 9338  shless 9347  shsidm 9357  shmods 9362  chsel 9382  spanun 9467  spanunsn 9502  osumlem5 9582  5oalem7 9605  pjjs 9645  cdjreu 10359  cdj3lem2a 10363  cdj3lem3a 10366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain