Theorem shscomt 9221

Description: Commutative law for subspace sum.

Assertion

Ref	Expression
shscomt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = (B +H A))

Proof of Theorem shscomt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shelt 9019	. . . . . . . . 9 |- ((A e. SH /\ y e. A) -> y e. H~)
2		shelt 9019	. . . . . . . . 9 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> z e. H~)
3	1, 2	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- (((A e. SH /\ y e. A) /\ (B e. SH /\ z e. B)) -> (y e. H~ /\ z e. H~))
4	3	an4s 508	. . . . . . 7 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (y e. H~ /\ z e. H~))
5		ax-hvcom 8810	. . . . . . 7 |- ((y e. H~ /\ z e. H~) -> (y +h z) = (z +h y))
6	4, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (y +h z) = (z +h y))
7	6	eqeq2d 1483	. . . . 5 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (y e. A /\ z e. B)) -> (x = (y +h z) <-> x = (z +h y)))
8	7	2rexbidva 1676	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.y e. A E.z e. B x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (z +h y)))
9		rexcom 1772	. . . 4 |- (E.y e. A E.z e. B x = (z +h y) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y))
10	8, 9	syl6bb 535	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.y e. A E.z e. B x = (y +h z) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y)))
11		shselt 9216	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (x e. (A +H B) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
12		shselt 9216	. . . 4 |- ((B e. SH /\ A e. SH) -> (x e. (B +H A) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y)))
13	12	ancoms 436	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (x e. (B +H A) <-> E.z e. B E.y e. A x = (z +h y)))
14	10, 11, 13	3bitr4d 549	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (x e. (A +H B) <-> x e. (B +H A)))
15	14	eqrdv 1471	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = (B +H A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  (class class class)co 3954  H~chil 8727   +h cva 8728  SHcsh 8736   +H cph 8739

This theorem is referenced by:  shsel2t 9224  shsub2t 9227  shscom 9270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-sh 9015  df-shsum 9211

Copyright terms: Public domain