Theorem shorth 9168

Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal.

Assertion

Ref	Expression
shorth	|- (H e. SH -> (G (_ (_|_` H) -> ((A e. G /\ B e. H) -> (A .ih B) = 0)))

Proof of Theorem shorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocorth 9165	. . . . 5 |- (H e. SH -> ((B e. H /\ A e. (_|_` H)) -> (B .ih A) = 0))
2	1	imp 350	. . . 4 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> (B .ih A) = 0)
3		shss 9079	. . . . . . . 8 |- (H e. SH -> H (_ H~)
4	3	sseld 2067	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> (B e. H -> B e. H~))
5		shocss 9159	. . . . . . . 8 |- (H e. SH -> (_|_` H) (_ H~)
6	5	sseld 2067	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> (A e. (_|_` H) -> A e. H~))
7	4, 6	anim12d 558	. . . . . 6 |- (H e. SH -> ((B e. H /\ A e. (_|_` H)) -> (B e. H~ /\ A e. H~)))
8	7	imp 350	. . . . 5 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> (B e. H~ /\ A e. H~))
9		orthcom 8974	. . . . 5 |- ((B e. H~ /\ A e. H~) -> ((B .ih A) = 0 <-> (A .ih B) = 0))
10	8, 9	syl 10	. . . 4 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> ((B .ih A) = 0 <-> (A .ih B) = 0))
11	2, 10	mpbid 195	. . 3 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> (A .ih B) = 0)
12		ssel 2063	. . . . . 6 |- (G (_ (_|_` H) -> (A e. G -> A e. (_|_` H)))
13	12	anim1d 560	. . . . 5 |- (G (_ (_|_` H) -> ((A e. G /\ B e. H) -> (A e. (_|_` H) /\ B e. H)))
14	13	imp 350	. . . 4 |- ((G (_ (_|_` H) /\ (A e. G /\ B e. H)) -> (A e. (_|_` H) /\ B e. H))
15		ancom 435	. . . 4 |- ((A e. (_|_` H) /\ B e. H) <-> (B e. H /\ A e. (_|_` H)))
16	14, 15	sylib 198	. . 3 |- ((G (_ (_|_` H) /\ (A e. G /\ B e. H)) -> (B e. H /\ A e. (_|_` H)))
17	11, 16	sylan2 451	. 2 |- ((H e. SH /\ (G (_ (_|_` H) /\ (A e. G /\ B e. H))) -> (A .ih B) = 0)
18	17	exp32 377	1 |- (H e. SH -> (G (_ (_|_` H) -> ((A e. G /\ B e. H) -> (A .ih B) = 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234  H~chil 8788   .ih csp 8793  SHcsh 8797  _|_cort 8799

This theorem is referenced by:  pjoi0t 9662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-sh 9076  df-oc 9124

Copyright terms: Public domain