Theorem shless 9347

Description: Subset implies subset of subspace sum.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH
shless.1	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shless	|- (A (_ B -> (A +H C) (_ (B +H C))

Proof of Theorem shless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . 5 |- (A (_ B -> (y e. A -> y e. B))
2	1	anim1d 560	. . . 4 |- (A (_ B -> ((y e. A /\ E.z e. C x = (y +h z)) -> (y e. B /\ E.z e. C x = (y +h z))))
3	2	r19.22dv2 1736	. . 3 |- (A (_ B -> (E.y e. A E.z e. C x = (y +h z) -> E.y e. B E.z e. C x = (y +h z)))
4		shincl.1	. . . 4 |- A e. SH
5		shless.1	. . . 4 |- C e. SH
6	4, 5	shsel 9280	. . 3 |- (x e. (A +H C) <-> E.y e. A E.z e. C x = (y +h z))
7		shincl.2	. . . 4 |- B e. SH
8	7, 5	shsel 9280	. . 3 |- (x e. (B +H C) <-> E.y e. B E.z e. C x = (y +h z))
9	3, 6, 8	3imtr4g 553	. 2 |- (A (_ B -> (x e. (A +H C) -> x e. (B +H C)))
10	9	ssrdv 2070	1 |- (A (_ B -> (A +H C) (_ (B +H C))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (class class class)co 3963   +h cva 8789  SHcsh 8797   +H cph 8800

This theorem is referenced by:  shslub 9358  osumcor2 9590  mayete3 9673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-shsum 9273

Copyright terms: Public domain