Theorem shjcomt 9330

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shjcomt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A vH B) = (B vH A))

Proof of Theorem shjcomt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjvalt 9321	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
2		shjvalt 9321	. . . 4 |- ((B e. SH /\ A e. SH) -> (B vH A) = (_|_` (_|_` (B u. A))))
3	2	ancoms 436	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (B vH A) = (_|_` (_|_` (B u. A))))
4		uncom 2176	. . . . 5 |- (B u. A) = (A u. B)
5	4	fveq2i 3727	. . . 4 |- (_|_` (B u. A)) = (_|_` (A u. B))
6	5	fveq2i 3727	. . 3 |- (_|_` (_|_` (B u. A))) = (_|_` (_|_` (A u. B)))
7	3, 6	syl6eq 1523	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (B vH A) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
8	1, 7	eqtr4d 1510	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A vH B) = (B vH A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2045  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  SHcsh 8797  _|_cort 8799   vH chj 8802

This theorem is referenced by:  shjcom 9340  shub2t 9353  shlej2t 9356  chjcomt 9429

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-sh 9076  df-chj 9275

Copyright terms: Public domain