Theorem shftvalt 6347

Description: Value of a sequence shifted by A.

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
shftvalt	|- ((A e. C /\ B e. CC) -> ((F shift A)` B) = (F` (B - A)))

Proof of Theorem shftvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 |- F e. V
2	1	shftfval 6343	. . 3 |- (A e. C -> (F shift A) = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))})
3	2	fveq1d 3732	. 2 |- (A e. C -> ((F shift A)` B) = ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))}` B))
4		opreq1 3974	. . . 4 |- (x = B -> (x - A) = (B - A))
5	4	fveq2d 3734	. . 3 |- (x = B -> (F` (x - A)) = (F` (B - A)))
6		eqid 1478	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))} = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))}
7		fvex 3738	. . 3 |- (F` (B - A)) e. V
8	5, 6, 7	fvopab4 3786	. 2 |- (B e. CC -> ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (F` (x - A)))}` B) = (F` (B - A)))
9	3, 8	sylan9eq 1530	1 |- ((A e. C /\ B e. CC) -> ((F shift A)` B) = (F` (B - A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   - cmin 5304   shift cshi 6341

This theorem is referenced by:  shftval2t 6348  shftval4t 6350  shftval5t 6351  shftf 6352  2shft 6353  shftcan2t 6354  seq1seq02t 6544  seqz1 6548  seqzp1 6549  seq00 6551  seq0p1 6552  seqzval2t 6554  climshft 7104  isumshft 7204

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-qs 4272  df-ni 5012  df-nq 5050  df-np 5098  df-nr 5179  df-c 5252  df-shft 6342

Copyright terms: Public domain